双曲線の漸近線の簡単な求め方と証明

$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ という双曲線の上側は，

$y=b\sqrt{\dfrac{x^2}{a^2}-1}$

これが $x\to\infty$ で $y=\dfrac{b}{a}x$ に近づくことを証明する。つまり，

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left|b\sqrt{\dfrac{x^2}{a^2}-1}-\dfrac{b}{a}x\right| =0$ を言えばよい。

これは分子を有理化することで簡単に証明できる：

（上式）

$=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left|b\dfrac{(\frac{x^2}{a^2}-1)-(\frac{x}{a})^2}{\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}+\frac{x}{a}}\right|\\ =\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left|\dfrac{-b}{\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}+\frac{x}{a}}\right|\\ =0$

対称性より $y=-\dfrac{b}{a}x$ も漸近線。また，パターン2の証明も同様。