サイクロイドについて覚えておくべきこと

• $\dfrac{dx(\theta)}{d\theta}=a(1-\cos\theta)\geq 0$

• $\dfrac{dy(\theta)}{d\theta}=a\sin\theta$
  よって，$\dfrac{dy(\theta)}{d\theta}$ は $0 <\theta <\pi$ では正，$\pi < \theta <2\pi$ では負。

つまり，原点からスタートして右上に移動し，$(\pi a,2a)$ を通り右下に移動する。これを滑らかな曲線で描くと図のようになる。

$(0,a)$ を中心とする半径 $a$ の円周上の点 $O$ が動く軌跡を考える。

$\theta$ 回転したあと円の中心 $B$ は $(a\theta, a)$ となる。

また，$BX$ と $x$ 軸の正の向きがなす角は $(\dfrac{3}{2}\pi-\theta)$ なので，

$\overrightarrow{BX}=(a\cos(\dfrac{3}{2}\pi-\theta), a\sin(\dfrac{3}{2}\pi-\theta))$

よって，$X$ の座標は，

$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BX}=(a\theta+a\cos(\dfrac{3}{2}\pi-\theta), a+ a\sin(\dfrac{3}{2}\pi-\theta))$

加法定理を用いて変形すると，

• $x$ 座標は $a\theta-a\sin\theta$
• $y$ 座標は $a-a\cos\theta$

となりサイクロイドの式を得る。

(1) $3\pi a^2$
(2) $5\pi^2a^3$
(3) $8a$

計算の詳細はサイクロイド曲線のグラフと面積・体積・長さを参照してください。