サイクロイドについて覚えておくべきこと

サイクロイド曲線

媒介変数 θ\theta を用いて

x(θ)=a(θsinθ)x(\theta)=a(\theta-\sin\theta)
y(θ)=a(1cosθ)y(\theta)=a(1-\cos\theta)

と表される曲線をサイクロイド(Cycloid)と呼ぶ。

サイクロイドは媒介変数表示される曲線の中で有名なものの1つです。以下,a>0a> 0 とします。

サイクロイド曲線のグラフ

例題1

サイクロイド曲線

x(θ)=a(θsinθ)x(\theta)=a(\theta-\sin\theta)
y(θ)=a(1cosθ)y(\theta)=a(1-\cos\theta)

のグラフを 0θ2π0\leq\theta\leq 2\pi の範囲で描け。

媒介変数表示された曲線のグラフを描くよい練習問題です。サイクロイドのグラフはすぐに描けるようにしておきましょう。

解答

サイクロイドのグラフ

  • dx(θ)dθ=a(1cosθ)0\dfrac{dx(\theta)}{d\theta}=a(1-\cos\theta)\geq 0

  • dy(θ)dθ=asinθ\dfrac{dy(\theta)}{d\theta}=a\sin\theta
    よって,dy(θ)dθ\dfrac{dy(\theta)}{d\theta}0<θ<π0 <\theta <\pi では正,π<θ<2π\pi < \theta <2\pi では負。

つまり,原点からスタートして右上に移動し,(πa,2a)(\pi a,2a) を通り右下に移動する。これを滑らかな曲線で描くと図のようになる。

円を転がしたときの軌跡

サイクロイドは,円が直線上を転がるときに円周上の1点が動く軌跡です。これは事実として覚えておくとともに,すぐに導けるようになっておきましょう。

方針

円が θ\theta だけ転がった時の円周上の点 XX の座標を θ\theta で表せばよいです。このような問題では座標を表す際に円の中心 BB を経由するとよいです。

軌跡の導出

サイクロイド

(0,a)(0,a) を中心とする半径 aa の円周上の点 OO が動く軌跡を考える。

θ\theta 回転したあと円の中心 BB(aθ,a)(a\theta, a) となる。

また,BXBXxx 軸の正の向きがなす角は (32πθ)(\dfrac{3}{2}\pi-\theta) なので,

BXundefined=(acos(32πθ),asin(32πθ))\overrightarrow{BX}=(a\cos(\dfrac{3}{2}\pi-\theta), a\sin(\dfrac{3}{2}\pi-\theta))

よって,XX の座標は,

OBundefined+BXundefined=(aθ+acos(32πθ),a+asin(32πθ))\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BX}=(a\theta+a\cos(\dfrac{3}{2}\pi-\theta), a+ a\sin(\dfrac{3}{2}\pi-\theta))

加法定理を用いて変形すると,

  • xx 座標は aθasinθa\theta-a\sin\theta
  • yy 座標は aacosθa-a\cos\theta

となりサイクロイドの式を得る。

なお,今回は円が直線の上を転がりましたが,円が円の内側を転がる場合はハイポサイクロイドになります。似たような考え方で軌跡を導出できます。→ハイポサイクロイド(特にデルトイド)の式と面積

最速降下曲線(物理的な意味)

最速降下曲線

サイクロイドは「最速降下曲線」という物理的な意味も持ちます。入試で役に立つ可能性は低いですが,雑学として知っておくとよいでしょう。

つまり,サイクロイドは高さの違う2点 A,BA,B が与えられたときに,「高い方の点 AA に物体を置き転がしたときに点 BB にたどりつくまでにかかる時間が最小となる」ような曲線です。

(上記で紹介したサイクロイドの式を xx 軸に関して折り返したもので,原点が点 AA に対応しています。)

これは変分法と呼ばれる手法で導出できます。

練習問題

例題2

サイクロイド曲線 CC:
x(θ)=a(θsinθ)x(\theta)=a(\theta-\sin\theta)
y(θ)=a(1cosθ)y(\theta)=a(1-\cos\theta)

(0θ2π)(0\leq\theta\leq 2\pi) について,

(1) CCxx 軸で囲まれた部分 DD の面積を求めよ。
(2) DDxx 軸まわりに回転させてできる立体の体積を求めよ。
(3) CC の長さを求めよ。

解答

(1) 3πa23\pi a^2
(2) 5π2a35\pi^2a^3
(3) 8a8a

計算の詳細はサイクロイド曲線のグラフと面積・体積・長さを参照してください。

変分法は大学に入ってからのお楽しみです。

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