sinxの微分公式の３通りの証明

$\sin x$ の導関数は，微分の定義より，$\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{\sin (x+h)-\sin x}{h}$

加法定理を用いて分子を計算する：
$\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h}{h}\\ =\displaystyle\lim_{h\to 0}\left(\sin x\cdot\dfrac{\cos h-1}{h}+\cos x\cdot\dfrac{\sin h}{h}\right)$

ここで，

• 第一項は $\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{\cos h-1}{h}=0$（→補足） なので $0$ である。
• 第二項は $\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{\sin h}{h}=1$ (→証明) なので $\cos x$ に収束する。

よって，導関数は $0+\cos x=\cos x$ となる。

分子に和積公式を用いて計算する。

$$\begin{aligned} &\lim_{h\to 0}\dfrac{\sin (x+h)-\sin x}{h}\\ &=\lim_{h\to 0}\dfrac{2\sin\frac{h}{2}\cos(x+\frac{h}{2})}{h}\\ &=\lim_{h\to 0}\dfrac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\cdot\cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\\ &=\cos x \end{aligned}$$

$\mathrm{A} (\cos x,\sin x), \mathrm{B} (\cos (x+h),\sin(x+h))$ とおく。

上図から $$\dfrac{\sin (x+h)-\sin x}{h}=\dfrac{\mathrm{AB}\sin\alpha}{h}$$ を得る。

三角形 $\mathrm{OAB}$ に余弦定理を用いることで $$\begin{aligned} \mathrm{AB}^2 &= \mathrm{OA}^2 + \mathrm{OB}^2 - 2 \; \mathrm{OA} \cdot \mathrm{OB} \cdot \cos \angle \mathrm{AOB}\\ &= 1 + 1 -2 \cos h\\ &=2 (1-\cos h)\\ \mathrm{AB} &= \sqrt{2(1-\cos h)} \end{aligned}$$ を得る。こうして $\mathrm{AB}$ が $h$ によって表された。

また，$h$ が $0$ に近いとき，$\mathrm{AB}$ は $\mathrm{A}$ における単位円の接線に近づくので，$\displaystyle \lim_{h \to 0} \alpha = x + \dfrac{\pi}{2}$ を得る。

よって， $$\begin{aligned} \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin (x+h)-\sin x}{h} &= \lim_{h \to 0} \dfrac{\mathrm{AB}\sin\alpha}{h}\\ &= \lim_{h \to 0} \dfrac{\sqrt{2(1-\cos h)}}{h} \sin \alpha\\ &= \lim_{h \to 0} \sqrt{\dfrac{2(1-\cos h)}{h^2}} \sin \alpha\\ &= \sin \left( x+\dfrac{\pi}{2} \right)\\ &= \cos x \end{aligned}$$ を得る。