sinxの微分公式の３通りの証明

$\sin x$ の導関数は，微分の定義より，$\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{\sin (x+h)-\sin x}{h}$

加法定理を用いて分子を計算する：

$\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h}{h}\\ =\displaystyle\lim_{h\to 0}\left(\sin x\cdot\dfrac{\cos h-1}{h}+\cos x\cdot\dfrac{\sin h}{h}\right)$

ここで，$\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{\cos h-1}{h}=0$ (→注)

および $\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{\sin h}{h}=1$

より，導関数は $0+\cos x\cdot 1=\cos x$ となる。

$\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{\sin (x+h)-\sin x}{h}$

（分子を和積公式を用いて計算する）

$=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{2\sin\frac{h}{2}\cos(x+\frac{h}{2})}{h}\\ =\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\cdot\cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\\ =\cos x$

$A(\cos x,\sin x),\:B(\cos (x+h),\sin(x+h))$ とおく。

$\dfrac{\sin (x+h)-\sin x}{h}=\dfrac{AB\sin\alpha}{L_{AB}}$

ただし，$L_{AB}$ は弧 $AB$ の長さであり，$h$ が $0$ に近いときは線分 $AB$ の長さで近似できる。

また，$h$ が $0$ に近いとき，$AB$ は $A$ における単位円の接線に近づくので，$\alpha$ は $x+\dfrac{\pi}{2}$ で近似できる。

よって，$h$ が十分 $0$ に近いとき，上式 $\fallingdotseq\dfrac{AB\sin (x+\frac{\pi}{2})}{AB}=\cos x$ となる。