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sinxの微分公式の3通りの証明

更新日時 2021/03/07
サインの微分公式

(sinx)=cosx(\sin x)'=\cos x

教科書にも載っている超重要公式です。3通りの方法で証明します。

目次
  • 証明1:加法定理を用いる

  • 証明2:和積公式を用いる

  • 証明3:図形的に解釈する

証明1:加法定理を用いる

まずは,多くの教科書で採用されている定番の証明方法です。

なお,limh0sinhh=1\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{\sin h}{h}=1 は前提知識とします。→sinx/xについて覚えておくべき2つのこと

証明

sinx\sin x の導関数は,微分の定義より,limh0sin(x+h)sinxh\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{\sin (x+h)-\sin x}{h}

加法定理を用いて分子を計算する:

limh0sinx(cosh1)+cosxsinhh=limh0(sinxcosh1h+cosxsinhh)\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h}{h}\\ =\displaystyle\lim_{h\to 0}\left(\sin x\cdot\dfrac{\cos h-1}{h}+\cos x\cdot\dfrac{\sin h}{h}\right)

ここで,limh0cosh1h=0\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{\cos h-1}{h}=0 (→注)

および limh0sinhh=1\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{\sin h}{h}=1

より,導関数は 0+cosx1=cosx0+\cos x\cdot 1=\cos x となる。

注: cosh1h22\cos h\fallingdotseq 1-\dfrac{h^2}{2} を知っていればすぐに分かります。→三角関数の不定形極限の計算

きちんとやるなら,

cosh1h=(cosh1)(cosh+1)h(cosh+1)=sin2hh211+coshh0\dfrac{\cos h-1}{h}\\ =\dfrac{(\cos h-1)(\cos h+1)}{h(\cos h+1)}\\ =-\dfrac{\sin^2 h}{h^2}\cdot\dfrac{1}{1+\cos h}\cdot h\\\to 0

証明2:和積公式を用いる

極限計算の際に和積公式を用いてもOKです。

証明

limh0sin(x+h)sinxh\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{\sin (x+h)-\sin x}{h}

(分子を和積公式を用いて計算する)

=limh02sinh2cos(x+h2)h=limh0sinh2h2cos(x+h2)=cosx=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{2\sin\frac{h}{2}\cos(x+\frac{h}{2})}{h}\\ =\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\cdot\cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\\ =\cos x

証明3:図形的に解釈する

図形的に解釈することもできます。三角関数を微分すると位相が90度進むことが図形的に納得できます。

証明

A(cosx,sinx),B(cos(x+h),sin(x+h))A(\cos x,\sin x),\:B(\cos (x+h),\sin(x+h)) とおく。

サインの微分

sin(x+h)sinxh=ABsinαLAB\dfrac{\sin (x+h)-\sin x}{h}=\dfrac{AB\sin\alpha}{L_{AB}}

ただし,LABL_{AB} は弧 ABAB の長さであり,hh00 に近いときは線分 ABAB の長さで近似できる。

また,hh00 に近いとき,ABABAA における単位円の接線に近づくので,α\alphax+π2x+\dfrac{\pi}{2} で近似できる。

よって,hh が十分 00 に近いとき,上式 ABsin(x+π2)AB=cosx\fallingdotseq\dfrac{AB\sin (x+\frac{\pi}{2})}{AB}=\cos x となる。

注:弧の長さや α\alpha を近似している部分が感覚的ですが,厳密に長さを評価することもできます。その場合,証明2と同じ式になります。

なお,cos\cos の微分の証明も少し違った楽しさがあって楽しいです。→cosxの微分公式のいろいろな証明

最近の趣味は「非常に基本的な公式を複数の方法で証明すること」です。

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