微分公式一覧（基礎から発展まで）

初等関数の微分公式

・ $(x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1}$ （$\alpha$ は任意の実数）

→べき関数（y=x^n）の微分公式の3通りの証明

特に，$\alpha=\dfrac{1}{2}$ のとき，$(\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

・ $(\sin x)'=\cos x$

→sinxの微分公式の3通りの証明

・ $(\cos x)'=-\sin x$

→cosxの微分公式のいろいろな証明

• $(e^x)'=e^x$
• $(\log x)'=\dfrac{1}{x}$
• $(a^x)'=a^x\log a$
• $(\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^2x}$
• $(\cot x)'=\left(\dfrac{1}{\tan x}\right)'=-\dfrac{1}{\sin^2x}$

→tanxと1/tanxの微分公式のいろいろな証明

基本的な演算など

証明などの詳細はリンク先を参照して下さい。

・線形性： $(af(x)+bg(x))'=af'(x)+bg'(x)$

・積の微分： $(fg)'=f'g+fg'$

→積の微分公式とその証明の味わい

・商の微分（分数の微分）： $\left(\dfrac{g}{f}\right)'=\dfrac{g'f-f'g}{f^2}$ ，

特に $g=1$ のとき，$\left(\dfrac{1}{f}\right)'=-\dfrac{f'}{f^2}$

→商の微分公式の証明と例題

・合成関数の微分： $\{f(g(x))\}'=f'(g(x))g'(x)$

→合成関数の微分公式と例題7問

・対数微分法（公式ではありませんが）

→対数微分法のやり方と例題

発展的な微分公式

ここまでの公式は超重要で必須ですが，以下は暗記必須ではありません。ただし，いずれも導出できるようになっておきましょう。

• $(\mathrm{Arcsin} x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• $(\mathrm{Arccos} x)'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

・ $(\mathrm{Arctan} x)'=\dfrac{1}{1+x^2}$

→逆三角関数の重要な性質まとめ

• $(\sinh x)'=\cosh x$
• $(\cosh x)'=\sinh x$

・ $(\tanh x)'=1-\tanh^2 x$

→双曲線関数にまつわる重要な公式まとめ

・ $\{\log (x+\sqrt{x^2+a})\}'=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+a}}$

初等関数（三角関数や指数関数など）の四則演算や合成で表現できる関数は，基本的な公式を組み合わせるだけで必ず微分できます（一方，不定積分は必ずしも初等関数で表せるとは限らない）。