微分公式一覧（基礎から発展まで）

初等関数の微分公式

• $(x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1}$（$\alpha$ は任意の実数）
  →べき関数（y=x^n）の微分公式の3通りの証明

  • 例えば，$(x^2)'=2x,\:(x^{10})'=9x^9$
  • $\alpha=-1$ とすると，$\left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^2}$
  • $\alpha=\dfrac{1}{2}$ とすると，$(\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

• $(\sin x)'=\cos x$
  →sinxの微分公式の3通りの証明

• $(\cos x)'=-\sin x$
  →cosxの微分公式のいろいろな証明

• $(e^x)'=e^x$

• $(\log x)'=\dfrac{1}{x}$

• $(a^x)'=a^x\log a$

• $(\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^2x}$

• $(\cot x)'=\left(\dfrac{1}{\tan x}\right)'=-\dfrac{1}{\sin^2x}$
  →tanxと1/tanxの微分公式のいろいろな証明

証明などの詳細はリンク先を参照して下さい。

基本的な演算など

• 線形性：
  $(af(x)+bg(x))'=af'(x)+bg'(x)$

• 積の微分：
  $(fg)'=f'g+fg'$
  →積の微分公式とその証明の味わい

• 商の微分（分数の微分）：
  $\left(\dfrac{g}{f}\right)'=\dfrac{g'f-f'g}{f^2}$
  特に $g=1$ のとき，$\left(\dfrac{1}{f}\right)'=-\dfrac{f'}{f^2}$
  →商の微分公式の証明と例題

• 合成関数の微分：
  $\{f(g(x))\}'=f'(g(x))g'(x)$
  →合成関数の微分公式と例題7問

• 対数微分法（公式ではありませんが）
  →対数微分法のやり方と例題

発展的な微分公式

ここまでの公式は重要ですが，以下は暗記必須ではありません。ただし，いずれも導出できるようになっておきましょう。

• $(\mathrm{Arcsin} x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

• $(\mathrm{Arccos} x)'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

• $(\mathrm{Arctan} x)'=\dfrac{1}{1+x^2}$
  →逆三角関数の重要な性質まとめ

• $(\sinh x)'=\cosh x$

• $(\cosh x)'=\sinh x$

• $(\tanh x)'=1-\tanh^2 x$
  →双曲線関数にまつわる重要な公式まとめ

• $\{\log (x+\sqrt{x^2+a})\}'=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+a}}$

初等関数（三角関数や指数関数など）の四則演算や合成で表現できる関数は，基本的な公式を組み合わせるだけで必ず微分できます（一方，不定積分は必ずしも初等関数で表せるとは限らない）。