1. 高校数学の美しい物語
  2. 微分公式一覧(基礎から発展まで)

微分公式一覧(基礎から発展まで)

更新日時 2021/03/07

覚えておくべき微分の公式を整理しました。

なお,積分については積分公式一覧をどうぞ。

目次
  • 初等関数の微分公式

  • 基本的な演算など

  • 発展的な微分公式

初等関数の微分公式

(xα)=αxα1(x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1}α\alpha は任意の実数)

→べき関数(y=x^n)の微分公式の3通りの証明

特に,α=12\alpha=\dfrac{1}{2} のとき,(x)=12x(\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

(sinx)=cosx(\sin x)'=\cos x

→sinxの微分公式の3通りの証明

(cosx)=sinx(\cos x)'=-\sin x

→cosxの微分公式のいろいろな証明

  • (ex)=ex(e^x)'=e^x
  • (logx)=1x(\log x)'=\dfrac{1}{x}
  • (ax)=axloga(a^x)'=a^x\log a
  • (tanx)=1cos2x(\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^2x}
  • (cotx)=(1tanx)=1sin2x(\cot x)'=\left(\dfrac{1}{\tan x}\right)'=-\dfrac{1}{\sin^2x}

→tanxと1/tanxの微分公式のいろいろな証明

基本的な演算など

証明などの詳細はリンク先を参照して下さい。

・線形性: (af(x)+bg(x))=af(x)+bg(x)(af(x)+bg(x))'=af'(x)+bg'(x)

・積の微分: (fg)=fg+fg(fg)'=f'g+fg'

→積の微分公式とその証明の味わい

・商の微分(分数の微分): (gf)=gffgf2\left(\dfrac{g}{f}\right)'=\dfrac{g'f-f'g}{f^2}

特に g=1g=1 のとき,(1f)=ff2\left(\dfrac{1}{f}\right)'=-\dfrac{f'}{f^2}

→商の微分公式の証明と例題

・合成関数の微分: {f(g(x))}=f(g(x))g(x)\{f(g(x))\}'=f'(g(x))g'(x)

→合成関数の微分公式と例題7問

・対数微分法(公式ではありませんが)

→対数微分法のやり方と例題

発展的な微分公式

ここまでの公式は超重要で必須ですが,以下は暗記必須ではありません。ただし,いずれも導出できるようになっておきましょう。

  • (Arcsinx)=11x2(\mathrm{Arcsin} x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}
  • (Arccosx)=11x2(\mathrm{Arccos} x)'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}

(Arctanx)=11+x2(\mathrm{Arctan} x)'=\dfrac{1}{1+x^2}

→逆三角関数の重要な性質まとめ

  • (sinhx)=coshx(\sinh x)'=\cosh x
  • (coshx)=sinhx(\cosh x)'=\sinh x

(tanhx)=1tanh2x(\tanh x)'=1-\tanh^2 x

→双曲線関数にまつわる重要な公式まとめ

{log(x+x2+a)}=1x2+a\{\log (x+\sqrt{x^2+a})\}'=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+a}}

初等関数(三角関数や指数関数など)の四則演算や合成で表現できる関数は,基本的な公式を組み合わせるだけで必ず微分できます(一方,不定積分は必ずしも初等関数で表せるとは限らない)。

微分計算は素直。積分計算はエキサイティング。

人気記事
  1. 高校数学の美しい物語
  2. 微分公式一覧(基礎から発展まで)