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微分公式一覧(基礎から発展まで)

更新日時 2021/03/07

覚えておくべき微分の公式を整理しました。

なお,積分については積分公式一覧をどうぞ。

目次
  • 初等関数の微分公式

  • 基本的な演算など

  • 発展的な微分公式

初等関数の微分公式

  • (xα)=αxα1(x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1}α\alpha は任意の実数)
    →べき関数(y=x^n)の微分公式の3通りの証明

    • 例えば,(x2)=2x,(x10)=9x9(x^2)'=2x,\:(x^{10})'=9x^9
    • α=1\alpha=-1 とすると,(1x)=1x2\left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^2}
    • α=12\alpha=\dfrac{1}{2} とすると,(x)=12x(\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
  • (sinx)=cosx(\sin x)'=\cos x
    →sinxの微分公式の3通りの証明

  • (cosx)=sinx(\cos x)'=-\sin x
    →cosxの微分公式のいろいろな証明

  • (ex)=ex(e^x)'=e^x

  • (logx)=1x(\log x)'=\dfrac{1}{x}

  • (ax)=axloga(a^x)'=a^x\log a

  • (tanx)=1cos2x(\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^2x}

  • (cotx)=(1tanx)=1sin2x(\cot x)'=\left(\dfrac{1}{\tan x}\right)'=-\dfrac{1}{\sin^2x}
    →tanxと1/tanxの微分公式のいろいろな証明

証明などの詳細はリンク先を参照して下さい。

基本的な演算など

発展的な微分公式

ここまでの公式は重要ですが,以下は暗記必須ではありません。ただし,いずれも導出できるようになっておきましょう。

  • (Arcsinx)=11x2(\mathrm{Arcsin} x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}

  • (Arccosx)=11x2(\mathrm{Arccos} x)'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}

  • (Arctanx)=11+x2(\mathrm{Arctan} x)'=\dfrac{1}{1+x^2}
    →逆三角関数の重要な性質まとめ

  • (sinhx)=coshx(\sinh x)'=\cosh x

  • (coshx)=sinhx(\cosh x)'=\sinh x

  • (tanhx)=1tanh2x(\tanh x)'=1-\tanh^2 x
    →双曲線関数にまつわる重要な公式まとめ

  • {log(x+x2+a)}=1x2+a\{\log (x+\sqrt{x^2+a})\}'=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+a}}

初等関数(三角関数や指数関数など)の四則演算や合成で表現できる関数は,基本的な公式を組み合わせるだけで必ず微分できます(一方,不定積分は必ずしも初等関数で表せるとは限らない)。

微分計算は素直。積分計算は超エキサイティング。

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