対数微分法のやり方と例題～x^x の微分

$y=x^x$ を微分する。

ステップ1

指数の底は正なので，そもそも関数の定義域が $x > 0$ であることに注意する。よって，両辺は正なのでそのまま対数を取れる：

$\log y=x\log x$

ステップ2

両辺を $x$ で微分する。左辺は前提知識で述べた公式，右辺は積の微分の公式を使う： $\dfrac{y'}{y}=\log x+1$

ステップ3

これを $y'$ について解く： $y'=y(\log x+1)$

$y$ をもとに戻す： $y'=x^x(\log x+1)$

ステップ1

指数の底は正なので，$\cos x > 0$ の範囲が関数の定義域であることに注意する。両辺は正なのでそのまま対数を取れる：

$$\log y=e^x\log \cos x$$

ステップ2

両辺を $x$ で微分する。右辺は合成関数の微分法＆積の微分の公式を使う：

$$\dfrac{y'}{y}=e^x\log \cos x-\dfrac{e^x\sin x}{\cos x}$$

ステップ3

$y'$ について解いて $y$ をもとに戻す：

$$y'=(\cos x)^{e^x}e^x(\log\cos x-\tan x)$$

ステップ1

ルートの中身は正なので定義域は $x > -1$ 。このとき関数値は負になってしまうことがあるので，対数を取る前に両辺の絶対値を取る：

$$|y|=\dfrac{|x|(x-1)^2}{\sqrt{x+1}}$$

(右辺で $x$ の部分以外は非負なので絶対値を外した)。

両辺の対数を取る（→注2）：

$$\log |y|=\log |x|+2\log |(x-1)|-\dfrac{1}{2}\log (x+1)$$

ステップ2

両辺を $x$ で微分する：

$$\dfrac{y'}{y}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x-1}-\dfrac{1}{2(x+1)}$$

ステップ3

$y'$ について解いて $y$ を元に戻す：

$$\begin{aligned} y'&=\dfrac{x(x-1)^2}{\sqrt{x+1}}\left\{\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x-1}-\dfrac{1}{2(x+1)}\right\}\\ &=\dfrac{(x-1)^2}{\sqrt{x+1}}+\dfrac{2x(x-1)}{\sqrt{x+1}}-\dfrac{x(x-1)^2}{2(x+1)^{\frac{3}{2}}}\\ &=\dfrac{(x-1)(3{x}-1)}{\sqrt{x+1}}-\dfrac{x(x-1)^2}{2(x+1)^{\frac{3}{2}}} \end{aligned}$$