球面の方程式に関する5つの公式と具体例

まずは，$xyz$ 座標空間における球面の方程式です。

例題1は，公式1を使えばすぐに解けます。公式1より，求める球面の方程式は
$(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=4^2$

高校数学の問題集　～最短で得点力を上げるために～ のT156では，与えられた4点を通る球面の方程式を求める問題と3通りの解答を紹介しています。

次は，球面の方程式の「標準形」と呼ばれるものを紹介します。まずは例題です。

例題2のように，
$x^2+y^2+z^2+Ax+By+Cz+D=0$
という式は球面を表すことが多いです。この形の方程式を球の方程式の標準形と言うことがあります。

実際，上式を変形（平方完成）すると，

$\left(x+\dfrac{A}{2}\right)^2+\left(y+\dfrac{B}{2}\right)^2+\left(z+\dfrac{C}{2}\right)^2\\ =\dfrac{A^2+B^2+C^2-4D}{4}$

となることから以下の公式2が分かります(公式2は覚える必要はありません，例題2が解けることが重要です)。

なお，球の方程式の標準形にはパラメータが4つ（$A,B,C,D$）あるので， （一般の位置にある）四点が与えられたらそれらを通る球が一つに定まることが分かります。

点 $P(\overrightarrow{p})$ が球面上にある条件を，ベクトルを用いて表現することもできます。

「点 $P$ が球面上にある条件は，$A(\overrightarrow{a})$ からの距離が $r$ である」ということを式で表しただけです。

簡潔ですが，結局計算をするときに両辺二乗して公式1に帰着させることになるので，受験ではあまり活躍しません。

球面のベクトル方程式にはもう1種類あります。

線分 $AB$ が直径となるような球面上に点 $P$ がある$\iff \angle APB=90^{\circ}$

であることに注意すると，以下のような表現もできます。

なお，線分 $AB$ が直径となるような球は，中心が $\dfrac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}$ ，半径が $\left|\dfrac{\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}}{2}\right|$ なので公式3を使うと $\left|\overrightarrow{p}-\dfrac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}\right|=\left|\dfrac{\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}}{2}\right|$

と書けます。この両辺を二乗して整理すると公式4と一致することが分かります。

おまけです。高校数学では習いませんが，三次元極座標（球座標）を用いて表現することもできます。

確かに $x^2+y^2+z^2=r^2$ となっていることが確認できます。

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