円に内接する四角形の性質とその証明まとめ

更新日時 2021/03/07

円に内接する四角形の性質を整理しました。円周角の定理からトレミーの定理まで，全部使えるようになっておきましょう！

円周角の定理
向かい合う角の和は180°
円に内接する四角形の面積
方べきの定理
トレミーの定理

円周角の定理

まずは当たり前ですが重要な性質，円周角の定理から。

性質0

円周角の定理が使える。つまり，

$\angle DAC=\angle DBC$ などが成り立つ。

以下の性質の多くは円周角の定理に基づいています。

向かい合う角の和は180°

円に内接する四角形における一番有名な性質です。

性質1

向かい合う内角の和は $180^{\circ}$ である。つまり，

$\angle A+\angle C=180^{\circ}$

$\angle B+\angle D=180^{\circ}$

証明

円に内接する四角形の対角の和

円周角と中心角の関係より

$\angle A+\angle C=\dfrac{1}{2}\times 360^{\circ}=180^{\circ}$

（赤＋青＝ $\dfrac{1}{2}$ (薄い赤＋薄い青)）

性質1の逆も成立します。つまり，向かい合う内角の和が $180^{\circ}$ である四角形は円に内接します。

また，性質1は「外角」を使って表現されることも多いです。

性質1’

$\angle A=「\angle C$ の外角」

などが成立する。

円に内接する四角形の面積

次に，円に内接する四角形の面積の性質です。

性質2（ブラーマグプタの公式）

$AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,s=\dfrac{a+b+c+d}{2}$ とおくと，四角形 $ABCD$ の面積は，

$S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

入試でもけっこう使えます。ブラーマグプタの公式とその証明に二通りの証明を記載しています。

また，円に内接する四角形を2つに割った三角形の面積比について，以下の性質が成立します。

性質3

内接四角形と面積

$AD\times DC: AB\times BC\\=|ADC|:|ABC|\\=DE:EB$

ただし，対角線の交点を $E$ とおき，三角形 $ABC$ の面積を $|ABC|$ などと書きました。

証明

$|ADC|=\frac{1}{2}AD\times DC\sin D$ と $|ABC|=\frac{1}{2}AB\times BC\sin B$
性質1より $\sin B=\sin D$

の二点から1つめの等号が成立。

2つめの等号は「底辺が共通な三角形の面積比は高さの比に等しい」ので成立。

方べきの定理「円に内接する四角形の性質」ではありませんが，円周上に4点がある場合方べきの定理を使うことが多いです。
性質4(方べきの定理)
AE×EC=BE×EDAE\times EC=BE\times EDAE×EC=BE×ED
また，ADADAD
 と
BCBCBC
 の交点を
FFF
 とおくと
FA×FD=FB×FCFA\times FD=FB\times FCFA×FD=FB×FC

センター試験をはじめ，入試で超頻出です。性質0，1と比べて少し気づいにくいので注意が必要です。
方べきの定理の証明は方べきの定理とその統一的な証明を参照して下さい。
注：方べきの定理の逆も成り立ちます。四角形が円に内接することの証明に方べきの定理の逆を使うことはけっこう多いです。

トレミーの定理

性質5（トレミーの定理）

$AB\times CD+AD\times BC=AC\times BD$

入試問題の検算や，数学オリンピックの証明問題などにときどき使えます。

証明や応用例はトレミーの定理とその証明，応用例を参照して下さい。

注：トレミーの定理の逆も成り立ちます。ただ，四角形が円に内接することの証明にトレミーの定理の逆を使うことはほとんどありません。

トレミーの定理がもっと有名になると嬉しいです。

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