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方べきの定理とその統一的な証明

更新日時 2021/03/07

方べきの定理タイプ1

方べきの定理とは,円と点 PP と2本の直線が作る図形において,

PA1×PA2=PB1×PB2PA_1\times PA_2=PB_1\times PB_2

が成立するという定理です。方べきの定理は全部で3パターンあります。

この記事では, 方べきの定理の意味と証明 を3パターンそれぞれ解説します。最後に,3つのタイプを統一的に証明する方法を解説します。

目次
  • 方べきの定理タイプ1とその証明

  • 方べきの定理タイプ2とその証明

  • 方べきの定理タイプ3とその証明

  • 方べきの定理を統一的に見る

  • 座標を用いた方べきの定理の証明

方べきの定理タイプ1とその証明

方べきの定理タイプ1

方べきの定理(タイプ1)

図において

PA1×PA2=PB1×PB2PA_1\times PA_2=PB_1\times PB_2

が成立する。

ただし,

PP は円の内側

P,A1,A2P,A_1,A_2 は一直線上にある

P,B1,B2P,B_1,B_2 は一直線上にある

証明

円周角の定理より,

PA1B1=PB2A2\angle PA_1B_1=\angle PB_2A_2

PB1A1=PA2B2\angle PB_1A_1=\angle PA_2B_2

よって,2組の角がそれぞれ等しいので, 三角形 PA1B1PA_1B_1PB2A2PB_2A_2 は相似。

よって,

PA1:PB2=PB1:PA2PA_1:PB_2=PB_1:PA_2

PA1×PA2=PB1×PB2PA_1\times PA_2=PB_1\times PB_2

となり,方べきの定理が成立する。

方べきの定理タイプ2とその証明

方べきの定理タイプ2

方べきの定理(タイプ2)

図において

PA1×PA2=PB1×PB2PA_1\times PA_2=PB_1\times PB_2

が成立する。

ただし,

PP は円の外側

P,A1,A2P,A_1,A_2 は一直線上にある

P,B1,B2P,B_1,B_2 は一直線上にある

証明

円に内接する四角形の性質より,

PA1B1=PB2A2\angle PA_1B_1=\angle PB_2A_2

PB1A1=PA2B2\angle PB_1A_1=\angle PA_2B_2

よって,2組の角がそれぞれ等しいので, 三角形 PA1B1PA_1B_1PB2A2PB_2A_2 は相似。

よって,

PA1:PB2=PB1:PA2PA_1:PB_2=PB_1:PA_2

PA1×PA2=PB1×PB2PA_1\times PA_2=PB_1\times PB_2

となり,方べきの定理が成立する。

方べきの定理タイプ3とその証明

方べきの定理タイプ3

方べきの定理(タイプ3)

図において

PA1×PA2=PB2PA_1\times PA_2=PB^2

が成立する。

ただし,

PP は円の外側

P,A1,A2P,A_1,A_2 は一直線上にある

PBPB は接線

証明

接弦定理より,

PBA1=PA2B\angle PBA_1=\angle PA_2B

である。

また,P\angle P は共通。

よって,2組の角がそれぞれ等しいので, 三角形 PA1BPA_1BPBA2PBA_2 は相似。

よって,

PA1:PB=PB:PA2PA_1:PB=PB:PA_2

PA1×PA2=PB×PBPA_1\times PA_2=PB\times PB

となり,方べきの定理が成立する。

方べきの定理を統一的に見る

  • A,B,C,DA,B,C,D という記号ではなく A1,A2,B1,B2A_1,A_2,B_1,B_2 という記号を用いることで上記の3タイプの類似性が分かりやすくなります。
  • タイプ3において接線 mm をほんの少しずらすと円と二点で交わることになるのでタイプ2になります。つまりタイプ3はタイプ2の極限と見ることができます。
  • 方べきの定理の証明,は上記のように相似を使うのが一般的ですが,座標を用いることで3タイプ同時に証明することができます!

座標を用いた方べきの定理の証明

方べきの定理を座標計算で証明します。座標設定の方法,傾きと tan\tan の話,解と係数の関係など座標計算で重要なテクニックが凝縮されているので非常によい練習問題になります。

方べきの定理の証明

座標設定の方法:

CC : x2+y2=r2x^2+y^2=r^2 ,点 P(p,0)P(p,0) としても一般性を失いません。点 PP を通る直線 ll は傾き kk を用いて

y=k(xp)y=k(x-p) と書け,このとき llCC の交点を A1,A2A_1,A_2 とおきます。(交点が1つのときは A1=A2A_1=A_2

PA1×PA2PA_1\times PA_2kk によらないことを示せばOKです。

証明

llCC の方程式から yy を消去すると,

x2(1+k2)2k2px+k2p2r2=0x^2(1+k^2)-2k^2px+k^2p^2-r^2=0

A1,A2A_1, A_2xx 座標を α,β\alpha, \beta とおくと

解と係数の関係より α+β=2k2p1+k2\alpha+\beta=\dfrac{2k^2p}{1+k^2}αβ=k2p2r21+k2\alpha\beta=\dfrac{k^2p^2-r^2}{1+k^2}

また,上図のように llxx 軸がなす角を θ\theta とおくと,

PA1=pαcosθ,PA2=pβcosθPA_1=\dfrac{|p-\alpha|}{\cos\theta}, PA_2=\dfrac{|p-\beta|}{\cos\theta}

より,

PA1×PA2=(pα)(pβ)cos2θ=(1+tan2θ)p2(α+β)p+αβ=(1+k2)p22k2p21+k2+k2p2r21+k2=p2r2PA_1\times PA_2=\dfrac{|(p-\alpha)(p-\beta)|}{\cos^2\theta}\\ =(1+\tan^2\theta)|p^2-(\alpha+\beta)p+\alpha\beta|\\ =(1+k^2)|p^2-\dfrac{2k^2p^2}{1+k^2}+\dfrac{k^2p^2-r^2}{1+k^2}|\\ =|p^2-r^2|

となり傾き kk によらない!

よって,方べきの定理は成立する。

  • 実は座標設定の際に r=1r=1 としても一般性を失いませんが,計算の手間は変わりません。
  • p<r|p| <r のときタイプ1,p>r|p| > r で交点が2つのときタイプ2,また A1=A2A_1=A_2 となる場合も考慮できているのでタイプ3も証明できています。

このように,初等幾何では場合分けが必要でも,座標で考えれば統一的に証明できる場合は多いです。

方べきの定理の場合は,初等幾何による証明が非常に簡単なので座標のありがたみが半減ですが,複数のパターンを統一的に扱うという考え方は重要です。

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