方べきの定理の意味と2通りの証明

円周角の定理より，

$\angle PAC=\angle PDB$

$\angle PCA=\angle PBD$

よって，2組の角がそれぞれ等しいので，三角形 $PAC$ と $PDB$ は相似。

よって，

$PA:PD=PC:PB$

$PA\times PB=PC\times PD$

となり，方べきの定理が成立する。

円に内接する四角形の性質より，

$\angle PAC=\angle PDB$

$\angle PCA=\angle PBD$

よって，2組の角がそれぞれ等しいので， 三角形 $PAC$ と $PDB$ は相似。

よって，

$PA:PD=PC:PB$

$PA\times PB=PC\times PD$

となり，方べきの定理が成立する。

接弦定理より，

$\angle PCA=\angle PBC$

また，$\angle P$ は共通。 よって，2組の角がそれぞれ等しいので，三角形 $PAC$ と $PCB$ は相似。

よって，

$PA:PC=PC:PB$

$PA\times PB=PC\times PC$

となり，方べきの定理が成立する。

$l$ と $C$ の方程式から $y$ を消去すると，

$x^2(1+k^2)-2k^2px+k^2p^2-r^2=0$

$A, B$ の $x$ 座標を $\alpha, \beta$ とおくと

解と係数の関係より $\alpha+\beta=\dfrac{2k^2p}{1+k^2}$ ，$\alpha\beta=\dfrac{k^2p^2-r^2}{1+k^2}$

また，上図のように $l$ と $x$ 軸がなす角を $\theta$ とおくと，

$PA=\dfrac{|p-\alpha|}{\cos\theta}, PB=\dfrac{|p-\beta|}{\cos\theta}$

より，

$PA\times PB\\ =\dfrac{|(p-\alpha)(p-\beta)|}{\cos^2\theta}\\ =(1+\tan^2\theta)|p^2-(\alpha+\beta)p+\alpha\beta|\\ =(1+k^2)|p^2-\dfrac{2k^2p^2}{1+k^2}+\dfrac{k^2p^2-r^2}{1+k^2}|\\ =|p^2-r^2|$

となり傾き $k$ によらない！

よって，方べきの定理は成立する。