接弦定理の意味・例題・証明・逆をわかりやすく

接弦定理より，$\angle ACB=70^{\circ}$

また，三角形 $ABC$ は二等辺三角形なので，$\angle CAB=\angle CBA$

以上より，

$\angle ABC=(180-70)\div 2=55^{\circ}$

～ $\angle BAD$ が鋭角の場合（上の図）～

$AE$ が直径となるように点 $E$ を取る。

$AD$ は接線より $\angle EAB=90^{\circ}-\angle BAD$

また，$AE$ は直径なので $\angle EAB=90^{\circ}-\angle AEB$

以上より $\angle AEB=\angle BAD$

これと円周角の定理： $\angle ACB=\angle AEB$ より接弦定理が証明された。

～ $\angle BAD$ が直角の場合（真ん中の図）～

$BA$ は円の直径なので $\angle ACB=90^{\circ}$

よって $\angle ACB=\angle BAD$

～ $\angle BAD$ が鈍角の場合（下の図）～

接線上に $A$ に関して $D$ と反対側に点 $E$ を取る。

鋭角の場合の接弦定理（もう証明した）より $\angle EAC=\angle ABC$

よって，

$\angle ACB\\ =180^{\circ}-\angle ABC-\angle BAC\\ =180^{\circ}-\angle EAC-\angle BAC\\ =\angle BAD$

三角形 $ABC$ の外接円の点 $A$ における接線上に，$AB$ に関して $C$ と反対側に点 $E$ を適当に取る。

接弦定理より $\angle ACB=\angle EAB$ である。

これと定理の仮定から $\angle DAB=\angle EAB$

$D,E$ は $AB$ に関して同じ側にあるので $A,D,E$ は一直線上にある。つまり直線 $AD$ は円の接線である。