接弦定理の意味・例題・証明・逆をわかりやすく
接線と弦のつくる角 は,その弦に対する円周角 と等しい。これを 接弦定理(せつげんていり) と言う。
接弦定理の意味・例題・証明をわかりやすく説明します。後半では接弦定理の逆についても紹介します。
接弦定理を使う問題
接弦定理の証明
円周角の定理の極限
接弦定理の逆
接弦定理を使う問題
「接線」と「弦」が作る角度が表れたら,接弦定理を思い出しましょう。
図において,, であるとき, を計算せよ。
接弦定理より,
また,三角形 は二等辺三角形なので,
以上より,
接弦定理の証明
接弦定理の証明は場合分けが必要なのでやや長いですが,1つ1つは難しくありません。
が鋭角の場合,直角の場合,鈍角の場合の3つに場合分けをして証明します。
接点を ,弦を ,円周角を とします。また,接線上に点 と直線 に関して反対側に点 を適当に取ります。 目標は を証明することです。
~ が鋭角の場合(上の図)~
が直径となるように点 を取る。
は接線より
また, は直径なので
以上より
これと円周角の定理: より接弦定理が証明された。
~ が直角の場合(真ん中の図)~
は円の直径なので
よって
~ が鈍角の場合(下の図)~
接線上に に関して と反対側に点 を取る。
鋭角の場合の接弦定理(もう証明した)より
よって,
円周角の定理の極限
次に,接弦定理が成り立つことの感覚的な説明を紹介します。
点 を円周上で限りなく に近づけていくと,
-
円周角の定理より は一定
-
直線 は円の接線に近づく
以上から接弦定理が成り立つことが納得できます。
接弦定理の逆
接弦定理の逆は入試ではあまり見かけませんが,数学オリンピックの図形の証明問題では頻出です。
と が直線 に関して反対側にあり, なら直線 は三角形 の外接円と接する。
接弦定理からほぼ明らかですが,一応証明しておきます。
三角形 の外接円の点 における接線上に, に関して と反対側に点 を適当に取る。
接弦定理より である。
これと定理の仮定から
は に関して同じ側にあるので は一直線上にある。つまり直線 は円の接線である。
「接弦定理」というネーミングはなかなか良いと思います。