不等式
相加相乗平均の不等式とそのエレガントな証明
のとき,
という不等式が成立します。これを相加相乗平均の不等式と言います。
相加相乗平均の不等式を用いて関数の最小値を求める
相加相乗平均の不等式(AM-GM不等式)の応用の一例として,特殊な形の関数の最小値を求める方法を紹介します。
コーシーシュワルツの不等式とそのエレガントな証明
シュワルツの不等式:
数学オリンピック突破のための不等式証明のコツ
3変数の対称な不等式(または巡回式)証明の問題は2変数の不等式を3つ足し合わせる,または掛け合わせることで証明することが多い
不等式証明のコツ2:斉次式化
条件付きの対称な不等式の証明問題は,全ての項の次数を一致させる(斉次式にする)と見通しがよくなることが多い。(斉次式化)
Schurの不等式の証明と例題
Schur(シュール)の不等式:
に対して,
等号成立条件は,
or のうち1つが0で残りの2つが等しい場合。
追記: という条件は不要でした。任意の実数 に対して成立します。( のとき等号成立条件は )
イェンゼンの不等式の3通りの証明
イェンゼンの不等式(Jensen,凸関数の不等式)
が凸関数のとき,
任意の
に対して,
不等式証明のコツ3:Ravi変換
三角形の各辺の長さが変数の不等式証明問題は,Ravi変換と呼ばれる以下の置き換えを用いるとほとんどの場合でうまくいく。
Ravi変換:
重み付き相加相乗平均の不等式の意味とその証明
重み付き相加相乗平均の不等式:
非負実数 と重み に対して以下の不等式が成立する。
等号成立条件は
シュワルツの不等式の応用公式と例題
シュワルツの不等式の応用例として頻出な形を紹介します。
分数の和を下から抑える公式:
のとき,以下の不等式が成立する。
等号成立条件は と が平行であること。
シグマの和は から まで取る。
有名不等式a^2+b^2+c^2≧ab+bc+caのいろんな証明
次の不等式は有名で応用上重要なので頭の引き出しに入れておきたいところです:
任意の実数 に対して,
等号成立条件は,
Muirheadの不等式と具体例
Muirheadの不等式:
各成分が非負で非増加な数列 と,任意の非負実数 に対して, ならば
等号成立条件は, または,
この不等式は一見抽象的で意味不明ですが,具体的に書いてみればなんてことありません。要するに, 「対称式ならベキが偏っている方が大きい」ということです。
Nesbittの不等式の6通りの証明
Nesbittの不等式:
のとき以下の不等式が成立する。
並べ替え不等式の証明と例題
並べ替え不等式(rearrangement inequality):
,
の並べ替え に対して,
チェビシェフの不等式の2通りの証明と例題
チェビシェフの不等式(Chebyshev’s sum inequality):
,
に対して,
ヘルダーの不等式の証明と例題
ヘルダーの不等式:
のとき,
等号成立条件は
本のベクトル たちが全て平行
一般形はとても複雑なので理解できなくても構いません,頻出系を覚えて下さい!
条件式abc=1を持つ不等式の証明
条件式 を持つ不等式証明の問題では以下のいずれかの変換を用いるとうまくいく場合が多い。
変換1:
変換2:
Cauchy Reverse Technique
Cauchy Reverse Techniqueは分数の和を下からおさえるときに使える不等式証明のテクニックです。
n変数の不等式証明のテクニック
数学オリンピックの不等式証明問題は 変数のものとn変数のものがほとんどです。
isolated fudging
isolated fudging:
を証明する代わりに
を証明する手法
ルートの和とシュワルツの不等式
ルートの和を上からおさえる公式:
Karamataの不等式
Karamataの不等式:
- を満たす実数の列
- は微分可能で凸
このとき,
このページではKaramataの不等式の意味,応用例,証明を解説します。
ニュートンの不等式の具体例
ニュートン(Newton)の不等式:
変数の 次の基本対称式を とおき, とおく。
このとき,
等号成立条件は全ての変数の値が等しいことです。
ミンコフスキーの不等式とその証明
ミンコフスキー(Minkowski)の不等式:
のとき,
三角不等式の一般化です。
の場合の証明くらいは入試で出題されるかもしれません。ここでは一般的な場合のミンコフスキーの不等式を紹介します。
いろんな三角不等式(絶対値,複素数,ベクトル)
三角不等式:
の「大きさ」を と書くとき,いろいろな「大きさ」に対して以下の不等式が成立する
高校数学のいろいろな場面で登場する三角不等式を統一的に見てみます。
数学オリンピック対策問題(不等式)
非負実数 に対して
を証明せよ。
良質な練習問題です,数オリ対策にどうぞ。
ヘルダーの不等式の数学オリンピックへの応用
数学オリンピックから不等式の難問を3問ほど解説します。かなりレベルの高い記事です。
累乗平均の不等式の具体例と証明
累乗平均の不等式(power mean inequality):
任意の非負の実数 たちと正の実数 に対して
とおくと は単調増加
ベルヌーイの不等式
ベルヌーイの不等式:
任意の正の整数 と より大きい実数 に対して,
二次不等式の解き方(2通りの考え方)と例題
二次不等式とは, というような,二次の項を含む不等式のことです。
この記事では,
・グラフを書くことで二次不等式を解く方法
・因数分解をすることで二次不等式を解く方法
をそれぞれ解説します。二つとも結局やることは同じになりますが,考え方は違います!
分数不等式のおすすめの解き方と例題
分数不等式とは,
のように,分数式を含む不等式のことです。
このページでは,分数不等式の解き方を3通り紹介します。2つめの方法(通分する方法)がおすすめです。
対称式に関するマクローリンの不等式
マクローリン(Maclaurin)の不等式
変数 次の基本対称式を で割ったものを とする。このとき,
フランダースの不等式とその証明
任意の三角形 について,
Abi-Khuzam の不等式とも言います。右辺の は,角 ,角 ,角 それぞれの(弧度法での)大きさの積という意味です。角度とその が混在している幾何不等式です。
Hlawka’s Inequalityとその証明
Hlawka’s Inequality:
任意の複素数 に対して,
Hlawka’s Inequality(フラカの不等式)について紹介します。
Popoviciu の不等式
Popoviciu の不等式:
が下に凸な関数のとき,任意の に対して(※),
※より厳密に言うと「 は区間 から への関数で, は区間 に含まれる任意の実数」
この記事では,Popoviciu の不等式の意味と,2通りの証明を紹介します。