不等式
相加相乗平均の不等式を用いて関数の最小値を求める
相加相乗平均の不等式(AM-GM不等式)の応用の一例として,特殊な形の関数の最小値を求める方法を紹介します。
数学オリンピック突破のための不等式証明のコツ
3変数の対称な不等式(または巡回式)証明の問題は2変数の不等式を3つ足し合わせる,または掛け合わせることで証明することが多い
Schurの不等式の証明と例題
に対して, となる。等号成立条件は,
or のうち1つが0で残りの2つが等しい場合である。
という条件としていますが,任意の実数 に対しても成立します。 のとき等号成立条件は となります。
不等式証明のコツ3:Ravi変換
三角形の各辺の長さが変数の不等式証明問題は,Ravi変換と呼ばれる以下の置き換えを用いるとほとんどの場合でうまくいく。
Ravi変換:
シュワルツの不等式の応用公式と例題
シュワルツの不等式の応用例として頻出な形を紹介します。
のとき,以下の不等式が成立する。 等号成立条件は と が平行であること。
シグマの和は から まで取る。
有名不等式a^2+b^2+c^2≧ab+bc+caのいろいろな証明
次の不等式は有名で応用上重要なので頭の引き出しに入れておきたいところです:
任意の実数 に対して, 等号成立条件は, である。
Muirheadの不等式と具体例
各成分が非負で非増加な数列 と,任意の非負実数 に対して, ならば が成立する。等号成立条件は, または, である。
この不等式は一見抽象的で意味不明ですが,具体的に書いてみればなんてことありません。要するに, 「対称式ならベキが偏っている方が大きい」ということです。
エルデス・モーデルの定理の証明
エルデスモーデルの定理:
任意の三角形 において,その内部の任意の点 から各辺に下ろした垂線の足を とおくとき,以下の不等式が成立する:
ヘルダーの不等式の証明と例題
のとき, である。等号成立条件は 本のベクトル たちが全て平行のとき。
一般形はとても複雑なので理解できなくても構いません,頻出系を覚えて下さい!
Hadwigerの不等式
有名な幾何不等式を2つ紹介します。Hadwiger-Finslerの不等式は数学オリンピックの練習問題にちょうどいい難易度なので,やる気のある人は証明を見る前に考えてみてください!
Cauchy Reverse Technique
Cauchy Reverse Techniqueは分数の和を下からおさえるときに使える不等式証明のテクニックです。
Karamataの不等式
- を満たす実数の列
- は微分可能で凸
このとき, である。
このページではKaramataの不等式の意味,応用例,証明を解説します。
ニュートンの不等式の具体例
変数の 次の基本対称式を とおき, とおく。
このとき, である。
等号成立条件は全ての変数の値が等しいことです。
ミンコフスキーの不等式とその証明
のとき, となる。
三角不等式の一般化です。
の場合の証明くらいは入試で出題されるかもしれません。ここでは一般的な場合のミンコフスキーの不等式を紹介します。
いろいろな三角不等式(絶対値,複素数,ベクトル)
の「大きさ」を と書くとき,いろいろな「大きさ」に対して以下の不等式が成立する。
高校数学のいろいろな場面で登場する三角不等式を統一的に見てみます。
有名不等式logx≦x-1の証明と入試問題
任意の正の実数 に対して
対数を1次関数で近似したいときに使える有名不等式です。入試でも頻出です。
累乗平均の不等式の具体例と証明
任意の非負の実数 たちと正の実数 に対して
とおくと は単調増加である。
Klamkinの不等式
と非負整数 ,三角形の内角 に対して以下の不等式が成立する。 等号成立条件は, がいずれも でないもとで, である。
証明が簡単な割に重要な結果を含んでいる素晴らしい不等式です。
二次不等式の解き方(2通りの考え方)と例題
二次不等式とは, というような,二次の項を含む不等式のことです。
この記事では,
・グラフを描くことで二次不等式を解く方法
・因数分解をすることで二次不等式を解く方法
をそれぞれ解説します。二つとも結局やることは同じになりますが,考え方は違います!
分数不等式のおすすめの解き方と例題
分数不等式とは,
のように,分数式を含む不等式のことです。
このページでは,分数不等式の解き方を3通り紹介します。2つめの方法(通分する方法)がおすすめです。
フランダースの不等式とその証明
任意の三角形 について,
である。
Abi-Khuzam の不等式とも言います。右辺の は,角 ,角 ,角 それぞれの(弧度法での)大きさの積という意味です。角度とその が混在している幾何不等式です。
Popoviciu の不等式
が下に凸な関数のとき,任意の に対して(※),
※より厳密に言うと「 は区間 から への関数で, は区間 に含まれる任意の実数」
この記事では,Popoviciu の不等式の意味と,2通りの証明を紹介します。
Hlawka’s Inequalityとその証明
任意の複素数 に対して, が成立する。
Hlawka’s Inequality(フラカの不等式)について紹介します。
アダマールの不等式
の複素行列 に対して,
ただし, は 列目の長さ:
アダマールの不等式のイメージと証明を紹介します。
不等式の基礎知識と展望
不等式とは 不等号 を含む式 のことです。数と数の大小関係を表します。
この記事では,中学レベルから難関大入試レベルまで幅広く不等式の基礎知識を解説します。
等号成立条件の確認が必要な場合・不要な場合
等号成立条件(不等式において,どのような場合に等号が成立するか?)について,以下の2つの話題です。
- 等号成立条件を確認しないといけない問題・確認しなくてもよい問題
- 等号成立条件のパターン
対数不等式の例題と解き方
対数不等式とは, のように対数(ログ)を含む不等式のことです。
この記事では,対数不等式の解き方を解説します。
対数不等式を解くためには,対数の計算に慣れている必要があります。不安な人は, 対数の基本的な性質とその証明や底の変換公式の証明と例題を参照してください。