不等式

    更新日時 2022/04/08

    相加相乗平均の不等式とそのエレガントな証明

    相加相乗平均の不等式

    a,b0a, b\geqq 0 のとき, a+b2ab \dfrac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab} という不等式が成立する。これを相加相乗平均の不等式と言う。

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    相加相乗平均の不等式を用いて関数の最小値を求める

    相加相乗平均の不等式(AM-GM不等式)の応用の一例として,特殊な形の関数の最小値を求める方法を紹介します。

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    コーシーシュワルツの不等式とそのエレガントな証明

    コーシーシュワルツの不等式

    (i=1nai2)(i=1nbi2)(i=1naibi)2 \left( \sum_{i=1}^n a_{i}^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n b_{i}^2 \right) \geq \left(\sum_{i=1}^n a_i b_i \right)^2

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    数学オリンピック突破のための不等式証明のコツ

    3変数の対称な不等式(または巡回式)証明の問題は2変数の不等式を3つ足し合わせる,または掛け合わせることで証明することが多い

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    不等式証明のコツ2:斉次式化

    条件付きの対称な不等式の証明問題は,全ての項の次数を一致させる(斉次式にする)と見通しがよくなることが多い。(斉次式化)

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    Schurの不等式の証明と例題

    Schur(シュール)の不等式

    r>0,x,y,z0r>0, x, y, z \geqq 0 に対して, xr(xy)(xz)+yr(yz)(yx)+zr(zx)(zy)0 x^r(x-y)(x-z)+y^r(y-z)(y-x)+z^r(z-x)(z-y) \geqq 0 となる。等号成立条件は,

    x=y=zx=y=z or x,y,zx, y, z のうち1つが0で残りの2つが等しい場合である。

    r>0r > 0 という条件としていますが,任意の実数 rr に対しても成立します。r0r\leqq 0 のとき等号成立条件は x=y=zx=y=z となります。

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    イェンゼンの不等式の3通りの証明

    イェンゼンの不等式(Jensen,凸関数の不等式)

    f(x)f(x) が凸関数のとき,

    任意の λi0,xi(i=1,,n),i=1nλi=1\lambda_i\geq 0,\:x_i\:(i=1,\cdots,n),\:\displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_i=1

    に対して, i=1nλif(xi)f(i=1nλixi) \sum_{i=1}^{n}\lambda_i f(x_{i}) \geqq f \left( \sum_{i=1}^{n}\lambda_i x_i \right)

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    不等式証明のコツ3:Ravi変換

    三角形の各辺の長さが変数の不等式証明問題は,Ravi変換と呼ばれる以下の置き換えを用いるとほとんどの場合でうまくいく。

    Ravi変換:a=x+y,b=y+z,c=z+xa=x+y, b=y+z, c=z+x

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    重み付き相加相乗平均の不等式の意味とその証明

    重み付き相加相乗平均の不等式

    非負実数 a1,a2,,ana_1, a_2,\cdots, a_n と重み w1,w2,,wnw_1, w_2, \cdots, w_n に対して以下の不等式が成立する。 i=1nwiaii=1naiwi \sum_{i=1}^nw_ia_i\geq \displaystyle\prod_{i=1}^na_i^{w_i} 等号成立条件は a1=a2==ana_1=a_2=\cdots =a_n

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    シュワルツの不等式の応用公式と例題

    シュワルツの不等式の応用例として頻出な形を紹介します。

    分数の和を下から抑える公式

    bi>0(i=1n)b_i>0\:(i=1\cdots n) のとき,以下の不等式が成立する。 ai2bi(ai)2bi \sum\dfrac{a_i^2}{b_i}\geq \dfrac{(\sum a_i)^2}{\sum b_i} 等号成立条件は aundefined\overrightarrow{a}bundefined\overrightarrow{b} が平行であること。

    シグマの和は 11 から nn まで取る。

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    有名不等式a^2+b^2+c^2≧ab+bc+caのいろいろな証明

    次の不等式は有名で応用上重要なので頭の引き出しに入れておきたいところです:

    任意の実数 a,b,ca, b, c に対して, a2+b2+c2ab+bc+ca a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca 等号成立条件は,a=b=ca=b=c である。

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    Muirheadの不等式と具体例

    Muirheadの不等式

    各成分が非負で非増加な数列 a=(a1,a2,,an),b=(b1,b2,,bn)a=(a_1, a_2,\cdots , a_n), b=(b_1, b_2,\cdots, b_n) と,任意の非負実数 x1,x2,,xnx_1, x_2, \cdots, x_n に対して,[a][b][a]\succeq [b] ならば symi=1nxiaisymi=1nxibi \sum_{sym}\prod_{i=1}^nx_i^{a_i} \geq \sum_{sym}\prod_{i=1}^nx_i^{b_i} が成立する。等号成立条件は,a=ba=b または, x1=x2==xnx_1=x_2=\cdots=x_n である。

    この不等式は一見抽象的で意味不明ですが,具体的に書いてみればなんてことありません。要するに, 「対称式ならベキが偏っている方が大きい」ということです。

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    Nesbittの不等式の6通りの証明

    Nesbittの不等式

    a,b,c>0a, b, c>0 のとき以下の不等式が成立する。 ab+c+bc+a+ca+b32 \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\geq \dfrac{3}{2}

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    エルデス・モーデルの定理の証明

    エルデスモーデルの定理

    エルデスモーデルの定理:

    任意の三角形 ABCABC において,その内部の任意の点 OO から各辺に下ろした垂線の足を P,Q,RP, Q, R とおくとき,以下の不等式が成立する:

    OA+OB+OC2(OP+OQ+OR)OA+OB+OC\geq 2(OP+OQ+OR)

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    並べ替え不等式の証明と例題

    並べ替え不等式(rearrangement inequality)

    x1x2xnx_1\geq x_2\geq\cdots\geq x_ny1y2yny_1\geq y_2\geq\cdots \geq y_n(1,2,,n)(1, 2, \cdots, n) の並べ替え (σ(1),σ(2),,σ(n))(\sigma(1), \sigma(2), \cdots, \sigma(n)) に対して, i=1nxiyii=1nxiyσ(i)i=1nxiyni+1 \sum_{i=1}^nx_iy_i\geq\sum_{i=1}^nx_iy_{\sigma(i)}\geq\sum_{i=1}^nx_iy_{n-i+1}

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    チェビシェフの不等式の2通りの証明と例題

    チェビシェフの不等式(Chebyshev's sum inequality)

    x1x2xnx_1\geq x_2\geq\cdots\geq x_ny1y2yny_1\geq y_2\geq\cdots \geq y_n に対して, 1ni=1nxiyi(1ni=1nxi)(1ni=1nyi)1ni=1nxiyn+1i \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^nx_i y_{i} \geqq \left(\dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_{i} \right) \left(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_{i} \right) \geq\dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_{i} y_{n+1-i} が成立する。

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    ヘルダーの不等式の証明と例題

    ヘルダーの不等式

    aij0,wi>0,i=1mwi=1a_{ij}\geq 0,w_i > 0, \displaystyle\sum_{i=1}^mw_i=1 のとき, i=1m(j=1naij)wij=1n(i=1maijwi) \displaystyle\prod_{i=1}^m(\sum_{j=1}^na_{ij})^{w_i}\geq \sum_{j=1}^n(\prod_{i=1}^ma_{ij}^{w_i}) である。等号成立条件は mm 本のベクトル (a1j,a2j,,anj)(j=1,2,,m)(a_{1j},a_{2j},\cdots,a_{nj})\:(j=1,2,\cdots ,m) たちが全て平行のとき。

    一般形はとても複雑なので理解できなくても構いません,頻出系を覚えて下さい!

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    Weitzenböckの不等式

    Weitzenböckの不等式

    三角形 ABCABC の三辺の長さを a,b,ca, b, c ,面積を SS とおくとき以下の不等式が成立する。 a2+b2+c243Sa^2+b^2+c^2\geq 4\sqrt{3}S

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    トレミーの不等式の証明と例題

    トレミーの不等式

    四角形 ABCDABCD において, AB×CD+AD×BCAC×BDAB\times CD+AD\times BC\geq AC\times BD 等号成立条件は,四角形 ABCDABCD が円に内接する四角形であること。

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    Hadwigerの不等式

    有名な幾何不等式を2つ紹介します。Hadwiger-Finslerの不等式は数学オリンピックの練習問題にちょうどいい難易度なので,やる気のある人は証明を見る前に考えてみてください!

    → Hadwigerの不等式

    条件式abc=1を持つ不等式の証明

    条件式 abc=1abc=1 を持つ不等式証明の問題では以下のいずれかの変換を用いるとうまくいく場合が多い。

    変換1:a=xy,b=yz,c=zxa=\dfrac{x}{y}, b=\dfrac{y}{z}, c=\dfrac{z}{x}

    変換2:a=1x,b=1y,c=1za=\dfrac{1}{x}, b=\dfrac{1}{y}, c=\dfrac{1}{z}

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    ヤングの不等式

    ヤングの不等式(Young's inequality)

    a,b>0,p,q>1,1p+1q=1a, b > 0,\:\:p,q > 1,\:\:\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1 のとき, app+bqqab\dfrac{a^p}{p}+\dfrac{b^q}{q}\geq ab である。

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    Cauchy Reverse Technique

    Cauchy Reverse Techniqueは分数の和を下からおさえるときに使える不等式証明のテクニックです。

    → Cauchy Reverse Technique

    ジョルダンの不等式

    ジョルダンの不等式

    0xπ20\leq x\leq \dfrac{\pi}{2} において, 2πxsinxx\dfrac{2}{\pi}x\leq \sin x\leq x が成立する。

    → ジョルダンの不等式

    ライプニッツの不等式の3通りの証明

    ライプニッツ(Leibniz)の不等式

    三角形 ABCABC の三辺の長さを a,b,ca,b,c ,外接円の半径を RR とおくと, a2+b2+c29R2a^2+b^2+c^2\leq 9R^2 が成立する。

    → ライプニッツの不等式の3通りの証明

    n変数の不等式証明のテクニック

    数学オリンピックの不等式証明問題は 33 変数のものとn変数のものがほとんどです。

    → n変数の不等式証明のテクニック

    isolated fudging

    isolated fudging

    f(a,b,c)+f(b,c,a)+f(c,a,b)k f(a, b, c)+f(b, c, a)+f(c, a, b)\geq k を証明する代わりに f(a,b,c)karar+br+cr f(a, b, c)\geq \dfrac{ka^r}{a^r+b^r+c^r} を証明する手法

    → isolated fudging

    ルートの和とシュワルツの不等式

    ルートの和を上からおさえる公式:

    ax+by(a2+b2)(x+y)a\sqrt{x}+b\sqrt{y}\leq\sqrt{(a^2+b^2)(x+y)}

    → ルートの和とシュワルツの不等式

    Karamataの不等式

    Karamataの不等式
    • [a][b][a]\succeq [b] を満たす実数の列 a=(a1,a2,,an),b=(b1,b2,,bn)a=(a_1, a_2,\cdots , a_n), b=(b_1, b_2,\cdots, b_n)
    • f(x)f(x) は微分可能で凸

    このとき, f(a1)+f(a2)++f(an)f(b1)+f(b2)++f(bn)f(a_1)+f(a_2)+\cdots +f(a_n)\geq f(b_1)+f(b_2)+\cdots +f(b_n) である。

    このページではKaramataの不等式の意味,応用例,証明を解説します。

    → Karamataの不等式

    ニュートンの不等式の具体例

    ニュートン(Newton)の不等式

    nn 変数の kk 次の基本対称式を S(n,k)S(n,k) とおき,d(n,k)=S(n,k)nCkd(n,k)=\dfrac{S(n,k)}{{}_n \mathrm{C}_{k}} とおく。

    このとき,d(n,k)2d(n,k1)  d(n,k+1)d(n,k)^2\geq d(n,k-1)\; d(n,k+1) である。

    等号成立条件は全ての変数の値が等しいことです。

    → ニュートンの不等式の具体例

    ミンコフスキーの不等式とその証明

    ミンコフスキー(Minkowski)の不等式

    1p1\leq p\leq\infty のとき, x+ypxp+yp\|x+y\|_p\leq\|x\|_p+\|y\|_p となる。

    三角不等式の一般化です。

    p=2p=2 の場合の証明くらいは入試で出題されるかもしれません。ここでは一般的な場合のミンコフスキーの不等式を紹介します。

    → ミンコフスキーの不等式とその証明

    微分を用いた不等式証明の問題

    問題

    f(x)=(x+12)log(1+1x)1 f(x)=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\log\left(1+\dfrac{1}{x}\right)-1

    とおくとき,x1x \geq 1 において

    0<f(x)<14x(x+1)0 < f(x) <\dfrac{1}{4x(x+1)} が成立することを示せ。

    受験で出てきそうな問題です。やや難問。

    → 微分を用いた不等式証明の問題

    いろいろな三角不等式(絶対値,複素数,ベクトル)

    三角不等式

    xx の「大きさ」を x\|x\| と書くとき,いろいろな「大きさ」に対して以下の不等式が成立する。 x+yx+y\|x+y\|\leq\|x\|+\|y\|

    高校数学のいろいろな場面で登場する三角不等式を統一的に見てみます。

    → いろいろな三角不等式(絶対値,複素数,ベクトル)

    数学オリンピック対策問題(不等式)

    問題

    非負実数 a,b,ca,b,c に対して

    (a+b2)(b+c2)(c+a2)3ab+bc+ca3 \sqrt[3]{\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\left(\dfrac{b+c}{2}\right)\left(\dfrac{c+a}{2}\right)}\geq\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{3}

    を証明せよ。

    良質な練習問題です,数オリ対策にどうぞ。

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    ヘルダーの不等式の数学オリンピックへの応用

    数学オリンピックから不等式の難問を3問ほど解説します。かなりレベルの高い記事です。

    → ヘルダーの不等式の数学オリンピックへの応用

    有名不等式logx≦x-1の証明と入試問題

    有名不等式

    任意の正の実数 xx に対して

    logxx1\log x\leq x-1

    対数を1次関数で近似したいときに使える有名不等式です。入試でも頻出です。

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    累乗平均の不等式の具体例と証明

    累乗平均の不等式(power mean inequality)

    任意の非負の実数 xkx_k たちと正の実数 pp に対して

    f(p)=(1nk=1nxkp)1p f(p)=\left(\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^nx_k^p\right)^{\frac{1}{p}}

    とおくと f(p)f(p) は単調増加である

    → 累乗平均の不等式の具体例と証明

    ベルヌーイの不等式

    ベルヌーイの不等式

    任意の正の整数 nn1-1 より大きい実数 xx に対して, (1+x)n1+nx (1+x)^n\geq 1+nx である。

    → ベルヌーイの不等式

    Klamkinの不等式

    Klamkinの不等式

    x,y,zx,\:y,\:z と非負整数 nn ,三角形の内角 A,B,CA,\:B,\:C に対して以下の不等式が成立する。 x2+y2+z22(1)n+1(yzcosnA+zxcosnB+xycosnC)x^2+y^2+z^2\geq 2(-1)^{n+1} (yz\cos nA+zx\cos nB+xy\cos nC) 等号成立条件は,sinnA,sinnB,sinnC\sin nA,\:\sin nB,\:\sin nC がいずれも 00 でないもとで, xsinnA=ysinnB=zsinnC\dfrac{x}{\sin nA}=\dfrac{y}{\sin nB}=\dfrac{z}{\sin nC} である。

    証明が簡単な割に重要な結果を含んでいる素晴らしい不等式です。

    → Klamkinの不等式

    二次不等式の解き方(2通りの考え方)と例題

    二次不等式とは,x24x+3>0x^2-4x+3 > 0 というような,二次の項を含む不等式のことです。

    この記事では,

    ・グラフを描くことで二次不等式を解く方法

    ・因数分解をすることで二次不等式を解く方法

    をそれぞれ解説します。二つとも結局やることは同じになりますが,考え方は違います!

    → 二次不等式の解き方(2通りの考え方)と例題

    分数不等式のおすすめの解き方と例題

    分数不等式とは,

    2x4x26x1 2-\dfrac{x-4}{x-2}\geq\dfrac{6}{x-1}

    のように,分数式を含む不等式のことです。

    このページでは,分数不等式の解き方を3通り紹介します。2つめの方法(通分する方法)がおすすめです。

    → 分数不等式のおすすめの解き方と例題

    対称式に関するマクローリンの不等式

    マクローリン(Maclaurin)の不等式

    nn 変数 kk 次の基本対称式を nCk{}_n\mathrm{C}_k で割ったものを dkd_k とする。このとき,

    d1d212d313dn1n d_1\geq d_2^{\frac{1}{2}}\geq d_3^{\frac{1}{3}}\geq\cdots\geq d_n^{\frac{1}{n}} が成立する。

    → 対称式に関するマクローリンの不等式

    フランダースの不等式とその証明

    フランダース(Flanders)の不等式

    任意の三角形 ABCABC について,

    sinAsinBsinC(332π)3ABC \sin A\sin B\sin C\leq\left(\dfrac{3\sqrt{3}}{2\pi}\right)^3ABC である。

    Abi-Khuzam の不等式とも言います。右辺の ABCABC は,角 AA ,角 BB ,角 CC それぞれの(弧度法での)大きさの積という意味です。角度とその sin\sin が混在している幾何不等式です。

    → フランダースの不等式とその証明

    Popoviciu の不等式

    Popoviciu の不等式

    f(x)f(x) が下に凸な関数のとき,任意の x,y,zx,y,z に対して(※),

    f(x)+f(y)+f(z)+3f(x+y+z3)2{f(x+y2)+f(y+z2)+f(z+x2)}\begin{aligned} &f(x)+f(y)+f(z)+3f\left(\dfrac{x+y+z}{3}\right)\\ &\quad\quad\geq 2\left\{f\left(\dfrac{x+y}{2}\right)+f\left(\dfrac{y+z}{2}\right)+f\left(\dfrac{z+x}{2}\right)\right\} \end{aligned}

    ※より厳密に言うと「ff は区間 IRI\subseteq\mathbb{R} から R\mathbb{R} への関数で,x,y,zx,y,z は区間 II に含まれる任意の実数」

    この記事では,Popoviciu の不等式の意味と,2通りの証明を紹介します。

    → Popoviciu の不等式

    Hlawka’s Inequalityとその証明

    Hlawka’s Inequality

    任意の複素数 x,y,zx,\:y,\:z に対して, x+y+z+x+y+zx+y+y+z+z+x |x|+|y|+|z|+|x+y+z| \geq |x+y|+|y+z|+|z+x| が成立する。

    Hlawka’s Inequality(フラカの不等式)について紹介します。

    → Hlawka’s Inequality(フラカの不等式)について,証明や中線定理との関係を紹介します。

    指数不等式の解法

    指数不等式とは,未知数を指数に持つ指数関数が含まれている不等式のことです。

    → 指数不等式の解法

    Ky Fanの不等式

    Ky Fanの不等式

    00 以上 12\dfrac{1}{2} 以下である nn 個の実数 x1,x2,,xnx_1,x_2,\dots,x_n に対して,GGAA\dfrac{G}{G'}\leq\dfrac{A}{A'}

    ただし,AAGGxix_i たちの相加平均と相乗平均:

    • A=x1+x2++xnnA=\dfrac{x_1+x_2+\dots +x_n}{n}
    • G=x1x2xnnG=\sqrt[n]{x_1x_2\dots x_n}

    AA'GG'(1xi)(1-x_i) たちの相加平均と相乗平均:

    • A=(1x1)+(1x2)++(1xn)nA'=\dfrac{(1-x_1)+(1-x_2)+\dots +(1-x_n)}{n}
    • G=(1x1)(1x2)(1xn)nG'=\sqrt[n]{(1-x_1)(1-x_2)\dots (1-x_n)}

    → Ky Fanの不等式

    アダマールの不等式

    アダマールの不等式(Hadamard's inequality)

    n×nn\times n の複素行列 AA に対して,

    detAc1c2cn|\det A|\leq c_1c_2\cdots c_n

    ただし,cic_iii 列目の長さ:ci=a1i2+a2i2++ani2c_{i} = \sqrt{|a_{1i}|^2+|a_{2i}|^2+\cdots +|a_{ni}|^2}

    アダマールの不等式のイメージと証明を紹介します。

    → アダマールの不等式

    不等式の基礎知識と展望

    不等式とは 不等号 >,<,,> , < , \geqq , \leqq を含む式 のことです。数と数の大小関係を表します。

    この記事では,中学レベルから難関大入試レベルまで幅広く不等式の基礎知識を解説します。

    → 不等式の基礎知識と展望

    一次不等式の解き方と検算方法

    一次不等式の解き方をわかりやすく解説します。一次不等式は3つのポイントをおさえれば確実に解けます。

    → 一次不等式の解き方と検算方法

    等号成立条件の確認が必要な場合・不要な場合

    等号成立条件(不等式において,どのような場合に等号が成立するか?)について,以下の2つの話題です。

    1. 等号成立条件を確認しないといけない問題・確認しなくてもよい問題
    2. 等号成立条件のパターン

    → 等号成立条件の確認が必要な場合・不要な場合

    対数不等式の例題と解き方

    対数不等式とは, log2(x+3)<2log2(x+1)\log_2 (x+3) < 2 \log_2 (x+1) のように対数(ログ)を含む不等式のことです。

    この記事では,対数不等式の解き方を解説します。

    対数不等式を解くためには,対数の計算に慣れている必要があります。不安な人は, 対数の基本的な性質とその証明底の変換公式の証明と例題を参照してください。

    → 対数不等式の例題と解き方