指数不等式の解法

以下では指数不等式の解き方について説明します。

グラフの概形を考える

指数不等式ではその指数関数の概形を考えることが大切です。

例

$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x} < \left(\dfrac{1}{2}\right)^3$ を満たす $x$ の範囲を求めよ。

この問題が出題されたとき $x < 3$ と解答してしまうミスがよくあります。

しかし， $y = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{x}$ のグラフの概形を思い浮かべてみてください。 $\dfrac{1}{2}$ は $1$ より小さい値なので，このグラフは単調減少であることがわかると思います。

ですから，関数 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$ は指数部分の $x$ が増加すればするほど，値は小さくなります。つまり，もとの不等式と答えの不等式の大小関係は逆転します。

このことに注意するとこの問題の答えは $3 < x$ となります。

この大小関係が逆転するのは底 $"1"$ が境目です。

(A) $a>1$ の時 $y=a^{x}$ が単調増加な関数なので以下が成り立つ。

$a^{p} < a^{q} \iff p < q$

(B) $a < 1$ の時 $y=a^{x}$ が単調減少な関数なので以下が成り立つ。

$a^{p} < a^{q} \iff p>q$

例

$2^{x-4} < 8^{1-2x}$ を満たす $x$ の範囲を求めよ。

底が違う不等式は，まず底を揃えるところから始めましょう。

解答

$2^{x-4} < 2^{3(1-2x)}$

ここで，底 $2$ が $1$ より大きいので $\begin{aligned} x-4 &< 3(1-2x)\\ 7x &< 7\\ x &< 1 \end{aligned}$

例

$2^{x}-2^{5-x}-4>0$ を満たす $x$ の範囲を求めよ。

この不等式には， $2^{-x}$ が紛れています。

この場合は $2^{-x}$ を $\dfrac{1}{2^{x}}$ とみて，両辺に $2^{x}$ をかけてみましょう。

解答

両辺に $2^{x}$ ( $>0$ )をかけると与式は $\begin{aligned} 2^{2x}-4\cdot2^{x}-2^{5}>0\\ 2^{2x}-4\cdot2^{x}-32>0\\ (2^{x}-8)(2^{x}+4)>0\\ \end{aligned}$

$\therefore -4 < 2^{x}<8$

$2^{x} > 0$ より

$0 < 2^{x} < 8$

したがって $x < 3$

このように両辺に $2^{x}$ をかけてあげることで $2^{x}$ の二次不等式になります。

指数方程式は指数関数の概形を浮かべながら解きましょう。