指数不等式の解法

更新日時 2021/05/28

指数不等式とは,未知数を指数に持つ指数関数が含まれている不等式のことです。

指数不等式の例

2x<242^{x}<2^{4}

目次
  • 指数不等式の解法

  • グラフの概形を考える

  • 底を揃える

  • 指数とその逆数が不等式に含まれる場合

指数不等式の解法

以下では指数不等式の解き方について説明します。

  • グラフの概形を考える
  • 底を揃える
  • 指数とその逆数が不等式に含まれる場合

グラフの概形を考える

指数不等式ではその指数関数の概形を考えることが大切です。

(12)x<(12)3\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}<\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 を満たす xx の範囲を求めよ。

この問題が出題されたとき x<3x<3 と解答してしまうミスがよくあります。

しかし, y=(12)xy=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x} のグラフの概形を思い浮かべてみてください。12\dfrac{1}{2}11 より小さい値なので,このグラフは単調減少であることがわかると思います。

ですから,関数 (12)x\left(\dfrac{1}{2}\right)^x は指数部分の xx が増加すればするほど,値は小さくなります。つまり,もとの不等式と答えの不等式の大小関係は逆転します。

このことに注意するとこの問題の答えは 3<x3<x となります。

この大小関係が逆転するのは底 "1""1" が境目です。

(A) a>1a>1 の時 y=axy=a^{x} が単調増加な関数なので以下が成り立つ。

ap<aq    p<qa^{p}<a^{q} \iff p<q

(B) a>1a>1 の時 y=axy=a^{x} が単調減少な関数なので以下が成り立つ。

ap<aq    p>qa^{p}<a^{q} \iff p>q

底を揃える

2x4<812x2^{x-4}<8^{1-2x} を満たす xx の範囲を求めよ。

底が違う不等式は,まず底を揃えるところから始めましょう。

解答

2x4<23(12x)2^{x-4}<2^{3(1-2x)}

ここで,底 2211 より大きいので x4<3(12x)7x<7x<1 \begin{aligned} x-4&<3(1-2x)\\ 7x&<7\\ x&<1 \end{aligned}

指数とその逆数が不等式に含まれる場合

2x25x4>02^{x}-2^{5-x}-4>0 を満たす xx の範囲を求めよ。

この不等式には,2x2^{-x} が紛れています。

この場合は 2x2^{-x}12x\dfrac{1}{2^{x}} とみて,両辺に 2x2^{x} をかけてみましょう。

解答

両辺に 2x2^{x} ( >0>0 )をかけると与式は 22x42x25>022x42x32>0(2x8)(2x+4)>0 \begin{aligned} 2^{2x}-4\cdot2^{x}-2^{5}>0\\ 2^{2x}-4\cdot2^{x}-32>0\\ (2^{x}-8)(2^{x}+4)>0\\ \end{aligned}

4<2x<8\therefore-4<2^{x}<8

2x>02^{x}>0 より

0<2x<80<2^{x}<8

したがって x<3x<3

このように両辺に 2x2^{x} をかけてあげることで 2x2^{x} の二次不等式になります。

二次不等式については,二次不等式の解き方(2通りの考え方)と例題 を参照してください。

指数方程式は指数関数の概形を浮かべながら解きましょう。