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指数関数の極限と爆発性

xx\to\infty の極限において,無限に大きくなるスピードは,

xx の対数関数 \llxx の多項式 \llxx の指数関数

\dfrac{\infty}{\infty} の不定形極限の重要な話題です。

なお,多項式というと指数が非負整数に限られますが,この記事に限っては x0.1x^{0.1} など指数が任意の非負実数のものを一般に多項式と呼んでいます。

目次
  • 指数関数と多項式の極限の勝負

  • 対数関数と多項式の極限の勝負

  • 指数関数の爆発性の証明

指数関数と多項式の極限の勝負

「多項式 \ll 指数関数」を実際に極限の式で書き下してみます。

r0,a>1r\geq 0,\: a > 1 のとき以下が成立する:

limxaxxr=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{a^x}{x^r}=\infty , limxxrax=0\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^r}{a^x}=0

上記の極限の式を丸ごと覚えるのではなくて, 「指数関数は無限大で多項式よりはるかに強い」と覚えておきましょう。

「どんな多項式よりも発散のスピードが速い」ということから,指数関数の発散を「爆発」と表現することがあります。

例1

limx2xx10000=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{2^x}{x^{10000}}=\infty

一見信じがたいですが,無限大では x10000x^{10000} よりも 2x2^x の方が強いです。

例2

limxex3x2+x+1=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{e^x}{3x^2+x+1}=\infty

例2のように aa がネイピア数 ee であるような場合が超頻出です。また,(当然ですが)多項式の項は複数あっても構いません(指数関数に勝てません)。

例3

limnn1.1n=0\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{1.1^n}=0

関数の極限を数列の極限にしても同様な公式が成立します。

対数関数と多項式の極限の勝負

r>0r > 0 のとき以下が成立する:

limxxrlogx=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^r}{\log x}=\infty , limxlogxxr=0\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{\log x}{x^r}=0

こちらも極限の式を丸ごと覚えるのではなくて, 「多項式は無限大で対数関数よりはるかに強い」と覚えておきましょう。

例4

limxxlogx=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{\sqrt{x}}{\log x}=\infty

r=12r=\dfrac{1}{2} としたものです。

指数関数の方の公式を認めてしまえば,対数関数の公式は簡単に導けます。実際,limy(er)yy=\displaystyle\lim_{y\to\infty}\dfrac{(e^r)^y}{y}=\infty において ey=xe^y=x とおけば limxxrlogx=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^r}{\log x}=\infty となり,対数関数の公式が導けます。逆も然りです。よって,指数関数バージョンの公式と対数関数バージョンの公式は本質的に同じものです。以下では指数関数バージョンを証明します。

指数関数の爆発性の証明

a>1a > 1r>0r > 0 に対して limxaxxr=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{a^x}{x^r}=\infty を証明します。二項定理を使って指数関数を展開します。二項定理を使うために xx を整数に限る必要があるためガウス記号を導入します。

証明

xx を超えない最大の整数を [x]\lbrack x \rbrack とおく。→ガウス記号の定義と3つの性質

すると,axa[x]a^x \geq a^{\lbrack x \rbrack} なので,はさみうちの原理(追い出しの原理)より

limxa[x]xr=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{a^{\lbrack x \rbrack}}{x^r}=\infty を証明すればよい。

また,xx が十分大きいところでの挙動を考えているので,xr+1x\geq r+1 としてよい。このとき,二項定理を用いると,

a[x]={1+(a1)}[x]a^{\lbrack x \rbrack}=\{1+(a-1)\}^{\lbrack x \rbrack} =1=1 ++ [x][x] (a1)(a-1) ++ \cdots ++ ([x][x]r+1r+1次式) (a1)r+1+(a-1)^{r+1}+\cdots

この展開を r+1r+1 次の項で打ち切ったもの P(x)P(x)[x][x]r+1r+1 次式であり,r+1r+1 次の係数は正である。

よって,a[x]xr>P(x)xr\dfrac{a^{\lbrack x \rbrack}}{x^r} > \dfrac{P(x)}{x^r} となり右辺は xx\to\infty で無限大に発散するので題意は示された。

注:なお,マクローリン型不等式:

ex>1+x+x22!++xnn!e^x > 1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots +\dfrac{x^n}{n!} を知っていれば

limxexxr=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{e^x}{x^r}=\infty はすぐに分かります。 →マクローリン型不等式(指数関数)

注2:ロピタルの定理を認めてしまえば,ロピタルの定理を繰り返し使うことでも証明できます。 →ロピタルの定理の条件と例題

注3: ex>xe^x>x という不等式に x=yr+1x=\dfrac{y}{r+1} を代入すると,eyr+1>yr+1e^{\frac{y}{r+1}}>\dfrac{y}{r+1} となります。これを変形すると,eyyr>y(r+1)r+1\dfrac{e^y}{y^r}>\dfrac{y}{(r+1)^{r+1}} となります。この式からも limyeyyr=\displaystyle\lim_{y\to\infty}\dfrac{e^y}{y^r}=\infty がわかります。(読者の方に教えていただいた方法です)

「爆発的に発散する」と言えば組み合わせ爆発ですね(「数え上げおねえさん」で検索してみてください)。