指数関数の極限と爆発性

「多項式 $\ll$ 指数関数」を実際に極限の式で書き下してみます。

上記の極限の式を丸ごと覚えるのではなく，「指数関数は無限大で多項式よりはるかに強い」と覚えておきましょう。

「どんな多項式よりも発散のスピードが速い」ということから，指数関数の発散を「爆発」と表現することがあります。

一見信じがたいですが，無限大では $x^{10000}$ よりも $2^x$ の方が強いです。

例2のように $a$ がネイピア数 $e$ であるような場合が超頻出です。また，（当然ですが）多項式の項は複数あっても構いません（指数関数に勝てません）。

関数の極限を数列の極限にしても同様の公式が成立します。

こちらも極限の式を丸ごと覚えるのではなく，「多項式は無限大で対数関数よりはるかに強い」と覚えておきましょう。

$r=\dfrac{1}{2}$ としたものです。

指数関数の方の公式を認めてしまえば，対数関数の方の公式は簡単に導けます。実際，$\displaystyle\lim_{y\to\infty}\dfrac{(e^r)^y}{y}=\infty$ において $e^y=x$ とおけば $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^r}{\log x}=\infty$ となり，対数関数の公式が導けます。逆も然りです。よって，指数関数バージョンの公式と対数関数バージョンの公式は本質的に同じものです。以下では指数関数バージョンを証明します。

$a > 1$，$r > 0$ に対して $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{a^x}{x^r}=\infty$ を証明します。以下では $r$ は整数とします。

二項定理を使って指数関数を展開します。二項定理を使うために $x$ を整数に限る必要があるためガウス記号を導入します。

注：なお，マクローリン型不等式：

$e^x > 1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots +\dfrac{x^n}{n!}$ を知っていれば

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{e^x}{x^r}=\infty$ はすぐに分かります。 →マクローリン型不等式（指数関数）

注2：ロピタルの定理を認めてしまえば，ロピタルの定理を繰り返し使うことでも証明できます。 →ロピタルの定理の条件と例題

注3： $e^x>x$ という不等式に $x=\dfrac{y}{r+1}$ を代入すると，$e^{\frac{y}{r+1}}>\dfrac{y}{r+1}$ となります。これを変形すると，$\dfrac{e^y}{y^r}>\dfrac{y}{(r+1)^{r+1}}$ となります。この式からも $\displaystyle\lim_{y\to\infty}\dfrac{e^y}{y^r}=\infty$ がわかります（読者の方に教えていただいた方法です）。