複素数平面における三角形の面積

$A(a+bi), B(c+di)$ とすると直交座標では $A(a,b), B(c,d)$ となる。

直交座標の面積公式より，三角形 $OAB$ の面積 $S$ は $S=\dfrac{1}{2}|ad-bc|$ となる。

一方，$(a+bi)(c-di)$ の虚部は $bc-ad$ となるので，

$S=\dfrac{1}{2}|\mathrm{Im}(a+bi)(c-di)|$ と表せて証明完了。

$OA$ と $OB$ のなす角を $\theta$ とおくと，求める面積 $S$ は，

$S=\dfrac{1}{2}|\alpha||\beta|\sin\theta$

あとは $\sin\theta$ を求めればよい。

$OAB$ が時計回りの順にあるとき（反時計回りのときも同様），

$\theta$ は $\dfrac{\alpha}{\beta}$ の偏角。

よって，$\sin\theta=\dfrac{\mathrm{Im}(\frac{\alpha}{\beta})}{|\frac{\alpha}{\beta}|}=\dfrac{|\beta|}{|\alpha|}\mathrm{Im}(\dfrac{\alpha}{\beta})$

ここで，$\beta\overline{\beta}=|\beta|^2$ より，$\dfrac{1}{\beta}=\dfrac{\overline{\beta}}{|\beta|^2}$ なので，

$\sin\theta=\dfrac{1}{|\alpha||\beta|}\mathrm{Im}\left(\alpha\overline{\beta}\right)$

以上により目標の式が示された。