サラスの公式と使い方

「左上から右下にかけて足す」と，

$$\begin{aligned} &0\times 4\times 0+1\times (-3)\times (-2)+2\times 3\times (-1)\\ &=0+6-6\\ &=0 \end{aligned}$$

「右上から左下にかけて足す」と

$$\begin{aligned} &0\times (-3)\times (-1)+1\times 3\times 0+2\times 4\times (-2)\\ &=0+0-16\\ &=-16 \end{aligned}$$

答えは赤ー紫なので，$16$

行列式の３つの定義・性質・意味で述べた「行列式の置換による定義」より，

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} &a_{13}\\ a_{21} & a_{22} &a_{23}\\ a_{31} & a_{32} &a_{33}\\ \end{pmatrix}$ の行列式は，

$a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}$
$-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}$

となる。赤い部分は「左上から右下へ」で計算できる。紫の部分は「右上から左下へ」で計算できる。

1. $X=\begin{pmatrix}0&1&2\\3&4&-3\\-2&-1&0\end{pmatrix}$ の行列式を計算すればよい。

2. サラスの公式を使って計算すると，例題1で計算したように $16$ になる

3. よって体積は，$\dfrac{16}{6}=\dfrac{8}{3}$

三角形 $OAB$ を底面とする四面体と見て体積を計算する。

三角形 $OAB$ の面積 $S$ は，

$$\begin{aligned} S &= \dfrac{1}{2}OA\times OB\times\sin \angle AOB\\ &= \dfrac{1}{2}OA\times OB\times\sqrt{1-\cos^2\angle AOB}\\ &= \dfrac{1}{2}\sqrt{OA^2OB^2- \left( \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB} \right)^2}\\ &= \dfrac{1}{2}\sqrt{(x_1^2+y_1^2+z_1^2)(x_2^2+y_2^2+z_2^2)-(x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2)^2}\\ &= \dfrac{1}{2}\sqrt{(y_1z_2-y_2z_1)^2+(z_1x_2-z_2x_1)^2+(x_1y_2-x_2y_1)^2} \end{aligned}$$

次に，三角形 $OAB$ を含む平面の方程式を求める。法線ベクトルはベクトルの外積を用いて，

$$\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}=(y_1z_2-y_2z_1,z_1x_2-z_2x_1,x_1y_2-x_2y_1)$$ と表せるので，求める平面が原点を通ることに注意すると，

$$(y_1z_2-y_2z_1)x+(z_1x_2-z_2x_1)y+(x_1y_2-x_2y_1)z=0$$

となる。

最後に三角形 $OAB$ と点 $C$ の距離 $h$ を求める。点と平面の距離公式より，

$$h=\dfrac{|(y_1z_2-y_2z_1)x_3+(z_1x_2-z_2x_1)y_3+(x_1y_2-x_2y_1)z_3|}{\sqrt{(y_1z_2-y_2z_1)^2+(z_1x_2-z_2x_1)^2+(x_1y_2-x_2y_1)^2}}$$

ここで，求める体積は $\dfrac{1}{3}Sh$ だが $S$ と $h$ の分母が打ち消し合って $h$ の分子の $\dfrac{1}{6}$ 倍が残り，証明された。