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四面体の体積を求める2つの公式with行列式

更新日時 2021/03/07

一般的な四面体の体積を求める公式を二つ解説します。行列式が登場しますが,行列式を知らなくても楽しめます!応用例として東北大の入試問題も。

なお,四面体が特別な場合にはもっと簡単な公式で体積が求まります。

正四面体の場合:→正三角形の面積,正四面体の体積

等面四面体の場合:→等面四面体とその性質

目次
  • 行列式

  • 四面体の体積と行列式

  • 三辺と三つの角度or六辺の長さから体積を求める

  • 公式の証明

行列式

3×3の行列(数字を9個並べたもの)M=(x1y1z1x2y2z2x3y3z3)M=\begin{pmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2\\ x_3 & y_3 & z_3\end{pmatrix}

に対して行列式というものを detM=y1z2x3+z1x2y3+x1y2z3z1y2x3x1z2y3y1x2z3\det M=y_1z_2x_3+z_1x_2y_3+x_1y_2z_3-z_1y_2x_3-x_1z_2y_3-y_1x_2z_3 と定義します。

行列式には同値な定義がいくつかあります(→行列式の3つの定義と意味)が,この記事では上式を定義と見ることにします。

四面体の体積と行列式

四面体の各頂点の座標が与えられているときには上記の行列 MM を用いて四面体の体積を表すことができます。

O(0,0,0),A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3)O(0,0,0),A(x_1,y_1,z_1), B(x_2,y_2,z_2),C(x_3,y_3,z_3) を頂点とする四面体の体積は 16detM\dfrac{1}{6}|\det M| となる。

証明にはベクトルの外積&点と平面の距離公式を用います。サラスの公式の下の方で詳しく解説しています。

この公式にはいろいろな言い換えがあります。

1.上記の四面体の体積は

16detM=16det(x1x2x3y1y2y3z1z2z3)\dfrac{1}{6}|\det M^{\top}|=\dfrac{1}{6}\left|\det\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3\\ z_1 & z_2 & z_3\end{pmatrix}\right| である。

行列式は転置しても変わらない(簡単な計算で証明できる)ので AA の座標を縦と横どっちに並べるんだっけ……と迷う必要はありません。

2. OAundefined,OBundefined,OCundefined\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC} が作る四面体の体積は

16det(OAundefined,OBundefined,OCundefined)\dfrac{1}{6}|\det(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC})| である。

1をベクトルを使って表記するとこのようになります。

3. OAundefined,OBundefined,OCundefined\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC} が張る平行六面体の体積は

det(OAundefined,OBundefined,OCundefined)|\det(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC})| である。

四面体の体積を六倍すると,考えている平行六面体の体積になることは簡単に分かるので2と3は同値です。

三辺と三つの角度or六辺の長さから体積を求める

(一つの頂点に集まる)三辺と三つの角度が分かっているときに使える公式です!

OA=a,OB=b,OC=c,OA=a,OB=b,OC=c,\:

AOB=γ,BOC=α,COA=β\angle AOB=\gamma,\angle BOC=\alpha,\angle COA=\beta のとき,四面体 OABCOABC の体積は,

V=abc61+2cosαcosβcosγ(cos2α+cos2β+cos2γ)V=\dfrac{abc}{6}\sqrt{1+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma-(\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma)}

なお,六辺の長さが全て求まっているときには余弦定理により角度(cos\cos )が簡単に求まるので,この公式を使えば 六辺の長さから四面体の体積を機械的に求めることもできます。

証明の前に例題です。この公式,一見かなりマニアックですが,意外と検算に使えます。

2013年東北大学の問題の小問をカットしたものです。

例題

OA=OB=OC=1,OA=OB=OC=1,\:

AOB=60,BOC=45,COA=45\angle AOB=60^{\circ},\angle BOC=45^{\circ},\:\angle COA=45^{\circ} のとき四面体 OABCOABC の体積を求めよ。

解答

上記の公式より,求める体積は

161+2121212(14+12+12)=112\dfrac{1}{6}\sqrt{1+2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}-(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2})}=\dfrac{1}{12}

公式の証明

行列式の性質を使うことでエレガントに証明します!(ここからは完全に大学内容です)

証明

前半の公式より,

6V=detM=detM6V=|\det M|=|\det M^{\top}|

よって,36V2=detMdetM=det(MM)36V^2=\det M\det M^{\top}=\det (MM^{\top})

ただし,ここで「行列式の積=積の行列式」を用いた。

MMMM^{\top} を計算してみると,

(a2abcosγaccosβabcosγb2bccosαaccosβbccosαc2)\begin{pmatrix} a^2 & ab\cos\gamma & ac\cos\beta \\ ab\cos\gamma & b^2 & bc\cos\alpha \\ ac\cos\beta & bc\cos\alpha & c^2\end{pmatrix}

である(例えば (1,2)(1,2) 成分は OAundefinedOBundefined=abcosγ\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=ab\cos\gamma のように計算できる)。よって,

detMM=a2b2c2det(1cosγcosβcosγ1cosαcosβcosα1)\det MM^{\top}=a^2b^2c^2\det \begin{pmatrix} 1 & \cos\gamma & \cos\beta \\ \cos\gamma & 1 & \cos\alpha \\ \cos\beta & \cos\alpha & 1\end{pmatrix}

この行列式を計算して 36V2=det(MM)36V^2=\det (MM^{\top}) に代入すると求める公式を得る。

行列式を知っている人には最後の証明で「うおおおお,すげえええ」ってなって欲しいです。

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