数列の和を計算するための公式まとめ

等差数列
例：$2+4+6+\cdots +100=2550$
初項が $a$，末項が $l$，項数が $n$ であるような等差数列の和は，$\dfrac{1}{2}n(a+l)$
→等差数列の和

等比数列
例：$1+2+4+8+16=31$
初項が $a$，公比 $r$，項数 $n$ の等比数列の和は（$r\neq 1$ のもとで）， $\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$
→等比数列の和の公式（例題・証明・応用）

無限等比級数
例：$1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{8}\cdots =2$
$a+ar+\cdots =\dfrac{a}{1-r}$
→無限等比級数の収束，発散の条件と証明など

等差数列と等比数列の融合
例：$1+2\cdot 3+3\cdot 3^2+4\cdot 3^3+5\cdot 3^4=547$
公比倍して差を取って計算します。
→等差×等比，2乗×等比の和を求める２通りの方法

べき乗の和
例：$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=225$
三乗の和までは高校数学でも勉強することが多いですが，それ以降も計算することができます。
→4乗の和，べき乗の和の公式

分数の和
例：$\displaystyle\sum_{k=1}^{10}\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{10}{11}$
部分分数分解を使います。
→分数で表された数列の和の問題と一般化

三角関数の和
例：$\cos\dfrac{\pi}{7}+\cos\dfrac{3\pi}{7}+\cos\dfrac{5\pi}{7}=\dfrac{1}{2}$
複素数を使います。かなり美しいです。
→位相が等差数列である三角関数の和の公式

二項係数の和
例：${}_4\mathrm{C}_0+{}_4\mathrm{C}_1+{}_4\mathrm{C}_2+{}_4\mathrm{C}_3+{}_4\mathrm{C}_4=16$
二乗和や三乗の交代和も計算できてしまいます！
→二項係数の和，二乗和，三乗和

無限級数
無限級数の公式については以下の公式集もどうぞ。
→無限和，無限積の美しい公式まとめ