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数列の和を計算するための公式まとめ

更新日時 2021/03/07

数列の和を計算するための公式を整理しました。

目次
  • 高校数学基礎

  • 高校数学中級

  • 高校数学で習わない公式

高校数学基礎

等差数列

例:2+4+6++100=25502+4+6+\cdots +100=2550

初項が aa ,末項が ll ,項数が nn であるような等差数列の和は,12n(a+l)\dfrac{1}{2}n(a+l) →等差数列の和の公式の例題と証明など

等比数列

例:1+2+4+8+16=311+2+4+8+16=31

初項が aa ,公比 rr ,項数 nn の等比数列の和は(r1r\neq 1 のもとで),

a(1rn)1r\dfrac{a(1-r^n)}{1-r} →等比数列の和の公式の証明といろいろな例

例:1+12+14+18=21+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{8}\cdots =2

無限等比級数の公式:

a+ar+=a1ra+ar+\cdots =\dfrac{a}{1-r} →無限等比級数の収束,発散の条件と証明など

高校数学中級

等差と等比の融合

例:1+23+332+433+534=5471+2\cdot 3+3\cdot 3^2+4\cdot 3^3+5\cdot 3^4=547

公比倍して差を取って計算します。 →等比×等差の和を求める2通りの方法

べき乗の和

例:13+23+33+43+53=2251^3+2^3+3^3+4^3+5^3=225

三乗の和までは高校数学でも勉強することが多いですが,それ以降も計算することができます。 →4乗の和,べき乗の和の公式

分数の和

例:k=1101k(k+1)=1011\displaystyle\sum_{k=1}^{10}\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{10}{11}

部分分数分解を使います。 →分数で表された数列の和の問題と一般化

高校数学で習わない公式

三角関数の和

例:cosπ7+cos3π7+cos5π7=12\cos\dfrac{\pi}{7}+\cos\dfrac{3\pi}{7}+\cos\dfrac{5\pi}{7}=\dfrac{1}{2}

複素数を使います。かなり美しいです。 →位相が等差数列である三角関数の和の公式

二項係数の和

例:4C0+4C1+4C2+4C3+4C4=16{}_4\mathrm{C}_0+{}_4\mathrm{C}_1+{}_4\mathrm{C}_2+{}_4\mathrm{C}_3+{}_4\mathrm{C}_4=16

二乗和や三乗の交代和も計算できてしまいます! →二項係数の和,二乗和,三乗和

無限級数

無限級数の公式については以下の公式集もどうぞ。 →無限和,無限積の美しい公式まとめ

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