数列の和を計算するための公式まとめ

高校数学基礎

等差数列

例：$2+4+6+\cdots +100=2550$

初項が $a$，末項が $l$，項数が $n$ であるような等差数列の和は，$\dfrac{1}{2}n(a+l)$ →等差数列の和

等比数列

例：$1+2+4+8+16=31$

初項が $a$ ，公比 $r$ ，項数 $n$ の等比数列の和は（$r\neq 1$ のもとで），

$\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$ →等比数列の和の公式（例題・証明・応用）

例：$1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{8}\cdots =2$

無限等比級数の公式：

$a+ar+\cdots =\dfrac{a}{1-r}$ →無限等比級数の収束，発散の条件と証明など

高校数学中級

等差と等比の融合

例：$1+2\cdot 3+3\cdot 3^2+4\cdot 3^3+5\cdot 3^4=547$

公比倍して差を取って計算します。 →等比×等差の和を求める２通りの方法

べき乗の和

例：$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=225$

三乗の和までは高校数学でも勉強することが多いですが，それ以降も計算することができます。 →4乗の和，べき乗の和の公式

分数の和

例：$\displaystyle\sum_{k=1}^{10}\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{10}{11}$

部分分数分解を使います。 →分数で表された数列の和の問題と一般化

高校数学で習わない公式

三角関数の和

例：$\cos\dfrac{\pi}{7}+\cos\dfrac{3\pi}{7}+\cos\dfrac{5\pi}{7}=\dfrac{1}{2}$

複素数を使います。かなり美しいです。 →位相が等差数列である三角関数の和の公式

二項係数の和

例：${}_4\mathrm{C}_0+{}_4\mathrm{C}_1+{}_4\mathrm{C}_2+{}_4\mathrm{C}_3+{}_4\mathrm{C}_4=16$

二乗和や三乗の交代和も計算できてしまいます！ →二項係数の和，二乗和，三乗和

無限級数

無限級数の公式については以下の公式集もどうぞ。 →無限和，無限積の美しい公式まとめ