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等差数列の和の公式の例題と証明など

更新日時 2021/03/07
等差数列の和

初項が aa,公差が dd,項数が nn であるような等差数列の和は, S=12n(2a+(n1)d)S=\dfrac{1}{2}n(2a+(n-1)d)

等差数列の和の公式を使う例題・証明・考察を解説します。

目次
  • 例題

  • 等差数列の和の公式の証明

  • 視点1:台形バージョン

  • 視点2:自然数の和の公式

例題

例題1

初項が 44,公差が 33,項数が 66 であるような等差数列の和 SS を求めよ。

解答

和の公式 S=12n(2a+(n1)d)S=\dfrac{1}{2}n(2a+(n-1)d) において a=4,d=3,n=6a=4,d=3,n=6 とすると,S=62(8+5×3)=69S=\dfrac{6}{2}(8+5\times 3)=69

別解

66 項くらいなら公式を使わないでも計算できる(検算になる)。

4+7+10+13+16+19=694+7+10+13+16+19=69

例題2

100100 以下の偶数の和を求めよ。

解答

2+4+6++98+1002+4+6+\cdots +98+100

つまり初項が 22,公差が 22,項数が 5050 の等差数列の和より,和の公式 S=12n(2a+(n1)d)S=\dfrac{1}{2}n(2a+(n-1)d) において a=2,d=2,n=50a=2,d=2,n=50 とすると,

S=502(4+49×2)=2550S=\dfrac{50}{2}(4+49\times 2)=2550

等差数列の和の公式の証明

非常に有名な証明方法です。一般的な証明がわかりにくい場合は「具体例による説明」を読んでみてください。

証明(具体例による説明)

初項が 44,公差が 33,項数が 66 であるような等差数列の和 SS を求める。

S=4+7+10+13+16+19S=4\:\:+7\:\:+10+13+16+19

逆順に書くと

S=19+16+13+10+7+4S=19+16+13+10+7\:\:+4

これらを辺々加えると,

2S=23+23+23+23+23+232S=23+23+23+23+23+23 より S=6232=69S=\dfrac{6\cdot 23}{2}=69

証明(一般の場合)

求めたい和の式をそのまま書く&逆順に書く:

S=a+(a+d)++{a+(n2)d}+{a+(n1)d}S=a+(a+d)+\cdots +\{a+(n-2)d\}+\{a+(n-1)d\} S={a+(n1)d}+{a+(n2)d}++(a+d)+aS=\{a+(n-1)d\}+\{a+(n-2)d\}+\cdots +(a+d)+a

縦に見て辺々加えると,2a+(n1)d2a+(n-1)d がたくさん(nn 個)出てくる:

2S=2a+(n1)d+2a+(n1)d++2a+(n1)d2S=2a+(n-1)d+2a+(n-1)d+\cdots +2a+(n-1)d

つまり,右辺は n{2a+(n1)d}n\{2a+(n-1)d\}

よって,S=12n(2a+(n1)d)S=\dfrac{1}{2}n(2a+(n-1)d)

以下では等差数列の和の公式について,新たな視点を二つ提供します。

視点1:台形バージョン

末項を ll とおくと,l=a+(n1)dl=a+(n-1)d であるので,冒頭の公式から dd を消去して

S=n2(2a+la)=S=\dfrac{n}{2}(2a+l-a)= 12n(a+l)\dfrac{1}{2}n(a+l)

と書くこともできます。

この公式は 数列の値の平均 a+l2\dfrac{a+l}{2} と項数 nn をかけたものが総和 SS であると解釈できます。さきほどの証明をイメージすると覚えやすいでしょう。

こちらのバージョンの方が冒頭の式よりも覚えやすいので,こちらのみ覚えてもOKです(必要に応じて l=a+(n1)dl=a+(n-1)d を用いて冒頭の式にすぐ戻せます)。

視点2:自然数の和の公式

自然数の和の公式だけ覚えていれば等差数列の和の公式を瞬時に導出できます!

導出

S=a+(a+d)+(a+2d)++{a+(n1)d}S=a+(a+d)+(a+2d)+\cdots +\{a+(n-1)d\}

aa の部分と dd の部分に分ける:

S=na+d{1+2++(n1)}S=na+d\{1+2+\cdots +(n-1)\}

ここで,1+2++(n1)=n(n1)21+2+\cdots +(n-1)=\dfrac{n(n-1)}{2} である(→べき乗の和の公式,この公式は使う機会が非常に多いので絶対覚えて下さい)ので,S=na+nd2(n1)S=na+\dfrac{nd}{2}(n-1)

つまり,等差数列の和の公式は自然数の和の公式と似たようなもの(1次変換しただけ)というわけです。

教科書レベルの公式を解説するときも.教科書に載っていないような視点,ネタを提供できるように頑張りたいです。

Tag:数列の和を計算するための公式まとめ

Tag:数学Bの教科書に載っている公式の解説一覧

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