等差数列の和の公式の例題と証明など

和の公式 $S=\dfrac{1}{2}n(2a+(n-1)d)$ において $a=4,d=3,n=6$ とすると，$S=\dfrac{6}{2}(8+5\times 3)=69$

$6$ 項くらいなら公式を使わないでも計算できる（検算になる）。

$4+7+10+13+16+19=69$

$2+4+6+\cdots +98+100$ ，

つまり初項が $2$，公差が $2$，項数が $50$ の等差数列の和より，和の公式 $S=\dfrac{1}{2}n(2a+(n-1)d)$ において $a=2,d=2,n=50$ とすると，

$S=\dfrac{50}{2}(4+49\times 2)=2550$

初項が $4$，公差が $3$，項数が $6$ であるような等差数列の和 $S$ を求める。

$S=4\:\:+7\:\:+10+13+16+19$

逆順に書くと

$S=19+16+13+10+7\:\:+4$

これらを辺々加えると，

$2S=23+23+23+23+23+23$ より $S=\dfrac{6\cdot 23}{2}=69$

求めたい和の式をそのまま書く＆逆順に書く：

$S=a+(a+d)+\cdots +\{a+(n-2)d\}+\{a+(n-1)d\}$ $S=\{a+(n-1)d\}+\{a+(n-2)d\}+\cdots +(a+d)+a$

縦に見て辺々加えると，$2a+(n-1)d$ がたくさん（$n$ 個）出てくる：

$2S=2a+(n-1)d+2a+(n-1)d+\cdots +2a+(n-1)d$

つまり，右辺は $n\{2a+(n-1)d\}$

よって，$S=\dfrac{1}{2}n(2a+(n-1)d)$

$S=a+(a+d)+(a+2d)+\cdots +\{a+(n-1)d\}$

を $a$ の部分と $d$ の部分に分ける：

$S=na+d\{1+2+\cdots +(n-1)\}$

ここで，$1+2+\cdots +(n-1)=\dfrac{n(n-1)}{2}$ である（→べき乗の和の公式，この公式は使う機会が非常に多いので絶対覚えて下さい）ので，$S=na+\dfrac{nd}{2}(n-1)$