4乗の和，べき乗の和の公式

恒等式， $$(t+1)^{5}-t^{5}=5t^4+10t^3+10t^2+5t+1$$

において両辺 $t=1$ から $n$ まで和を取る：

$$(n+1)^5-1=5S_4+10S_3+10S_2+5S_1+n$$

ここで，左辺については階差数列の和の「打ち消し合う」考え方を用いた。

上式に $S_1, S_2, S_3$ の公式を代入して $S_4$ について解くと求める公式が得られる：

$$\begin{aligned} &(n+1)^5-1\\ &=5S_4+\dfrac{10}{4}n^2(n+1)^2\\ &\quad +\dfrac{10}{6}n(n+1)(2n+1)+\dfrac{5}{2}n(n+1)+n \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} S_4 &= \dfrac{1}{5}n^5+\dfrac{1}{2}n^4+\dfrac{1}{3}n^3-\dfrac{1}{30}n\\ &=\dfrac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1) \end{aligned}$$

恒等式， $$(t+1)^{6}-t^{6}=6t^5+15t^4+20t^3+15t^2+6t+1$$

において両辺 $t=1$ から $n$ まで和を取る：

$$(n+1)^6-1=6S_5+15S_4+20S_3+15S_2+6S_1+n$$

ここで，左辺については階差数列の和の「打ち消し合う」考え方を用いた。

上式に $S_1, S_2, S_3, S_4$ の公式を代入して $S_5$ について解くと求める公式が得られる：

$$S_5=\dfrac{1}{12}n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)$$