等比×等差の和を求める２通りの方法

等比数列側の公比は $x$ なので，$xS_n$ を考える：

$$xS_n=x^2+2x^3+3x^4+\cdots +nx^{n+1}$$

よって，

$$S_n-xS_n=x+x^2+x^3+\cdots+x^n-nx^{n+1}$$

右辺を等比数列の和の公式で計算する：

$$(1-x)S_n=\dfrac{x(1-x^{n})}{1-x}-nx^{n+1}$$

両辺を $(1-x)$ で割れば $S_n$ が求まる：

$$S_n=\dfrac{x(1-x^n)}{(1-x)^2}-\dfrac{nx^{n+1}}{1-x}$$

等比数列の公式 $$\sum_{k=1}^nx^k=\dfrac{x(1-x^n)}{1-x}$$ の両辺を微分すると， $$\begin{aligned} \sum_{k=1}^nkx^{k-1}&=\dfrac{(1-x)(1-(n+1)x^n)+x(1-x^n)}{(1-x)^2}\\ &=\dfrac{1-(n+1)x^n+nx^{n+1}}{(1-x)^2} \end{aligned}$$

両辺を $x$ 倍すれば左辺は $S_n$ となる。

$\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}r^k=\dfrac{1}{1-r}$ の両辺を微分すると $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}kr^{k-1}=\dfrac{1}{(1-r)^2}$

$$\begin{alignedat}{3} S_n &= & \dfrac{1^2}{2^1} + & \dfrac{2^2}{2^2} + \cdots + \dfrac{n^2}{2^n} &\quad&\cdots \ (1)\\ \dfrac{1}{2} S_n &= && \dfrac{1^2}{2^2} + \cdots + \dfrac{(n-1)^2}{2^{n}} + \cdot \dfrac{n^2}{2^{n+1}} &&\cdots \ (2) \end{alignedat}$$

$(1)-(2)$ をする：

$$\dfrac{1}{2} S_n = \dfrac{1^2}{2} + \dfrac{3}{2^2} +\cdots + \dfrac{2n-1}{2^n} - \dfrac{n^2}{2^{n+1}} \quad \cdots \ (3)$$

辺々をさらに $\dfrac{1}{2}$ 倍して $$\dfrac{1}{4} S_n = \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{3}{2^3} +\cdots + \dfrac{2n-1}{2^{n+1}} - \dfrac{n^2}{2^{n+2}} \quad \cdots \ (4)$$ となるため，$(3)-(4)$ をすると $$\begin{aligned} \dfrac{1}{4} S_n &= \dfrac{1^2}{2} + \left( \dfrac{2}{2^2} + \cdots + \dfrac{2}{2^n} \right)\\ &\quad - \dfrac{n^2}{2^{n+1}} - \dfrac{2n-1}{2^{n+1}} + \dfrac{n^2}{2^{n+2}}\\ &= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \dfrac{1- \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n-1}}{1-\dfrac{1}{2}} \\ &\quad - \dfrac{n^2}{2^{n+1}} - \dfrac{2n-1}{2^{n+1}} + \dfrac{n^2}{2^{n+2}}\\ &= \dfrac{1}{2} + 1 - \dfrac{1}{2^{n-1}} \\ &\quad - \dfrac{n^2}{2^{n+1}} - \dfrac{2n-1}{2^{n+1}} + \dfrac{n^2}{2^{n+2}}\\ &= \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2^n} \left( \dfrac{n^2}{4} + n + \dfrac{3}{2} \right) \end{aligned}$$ と計算される。

よって $$S_n = 6 - \dfrac{n^2+4n+6}{2^n}$$

$$f(x) = \sum_{k=0}^{n+2} x^k$$ とおく。

$$\begin{aligned} f'(x) &= \sum_{k=0}^{n+1} (k+1) x^k\\ f''(x) &= \sum_{k=0}^n (k+1)(k+2) x^k\\ &= \sum_{k=0}^{n} (k^2 + 3k + 2) x^k \end{aligned}$$ より $$\begin{aligned} \sum_{k=0}^n k^2 x^k &= f''(x) - \sum_{k=0}^{n} (3k+2) x^k\\ &= f''(x) - \sum_{k=0}^{n} 3(k+1) x^k + \sum_{k=0}^{n} x^k\\ &= f''(x) - \left( f'(x) - 3(n+2) x^{n+1} \right) + \dfrac{1-x^{n+1}}{1-x} \\ &= f''(x) - 3f'(x) + 3(n+2) x^{n+1} + \dfrac{1-x^{n+1}}{1-x} \end{aligned}$$

一方で，等比級数の和の公式より $$f(x) = \dfrac{1-x^{n+3}}{1-x}$$ である。

微分すると $$\begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{(1-x^{n+3})' (1-x)}{(1-x)^2}\\ &\quad - \dfrac{(1-x^{n+3}) (1-x)'}{(1-x)^2}\\ &= \dfrac{1-(n+3) x^{n+2} +(n+2) x^{n+3}}{(1-x)^2} \end{aligned}$$ となる。 $x = \dfrac{1}{2}$ を代入すると $$\begin{aligned} f' \left( \dfrac{1}{2} \right) &= 4 - \dfrac{4(n+3)}{2^{n+2}} + \dfrac{4(n+2)}{2^{n+3}}\\ &= 4 - \dfrac{n+4}{2^{n+1}} \end{aligned}$$

さらに微分をする。（まとめてやると大変なので各項ごとに計算をする） $$\begin{aligned} &\left( \dfrac{1}{(1-x)^2} \right)' = \dfrac{2}{(1-x)^3}\\ &\left( \dfrac{x^{n+2}}{(1-x)^2} \right)'\\ &= \dfrac{(n+2)x^{n+1} (1-x)^2 + 2 x^{n+2} (1-x)}{(1-x)^4} \\ &= \dfrac{(n+2)x^{n+1} - n x^{n+2}}{(1-x)^3}\\ &\left( \dfrac{x^{n+3}}{(1-x)^2} \right)'\\ &= \dfrac{(n+3)x^{n+2} - (n+1) x^{n+3}}{(1-x)^3} \end{aligned}$$

以上をまとめて $$\begin{aligned} f''(x) &= \dfrac{2}{(1-x)^3} - \dfrac{(n+2)(n+3)x^{n+1}}{(1-x)^3} \\ &\quad +\dfrac{2(n+1)(n+3)x^{n+2}}{(1-x)^3} - \dfrac{(n+1)(n+2)x^{n+3}}{(1-x)^3} \end{aligned}$$ を得る。

$x = \dfrac{1}{2}$ を代入すると $$\begin{aligned} f'' \left( \dfrac{1}{2} \right) &= 16 - \dfrac{8(n+2)(n+3)}{2^{n+1}} \\ &\quad + \dfrac{16(n+1)(n+3)}{2^{n+2}} - \dfrac{8(n+1)(n+2)}{2^{n+3}}\\ &= 16 - \dfrac{n^2 + 7n + 14}{2^n} \end{aligned}$$ を得る。

以上をまとめると $$\begin{aligned} \sum_{k=1}^n \dfrac{k^2}{2^k} &= 16 - \dfrac{n^2 + 7n + 14}{2^n}\\ &\quad - 3 \left( 4 - \dfrac{n+4}{2^{n+1}} \right)\\ &\quad + \dfrac{3(n+2)}{2^{n+1}} + 2 - \dfrac{1}{2^n}\\ &= 6 - \dfrac{n^2+4n+6}{2^n} \end{aligned}$$