指数関数(e^xとa^x)の積分と関連する公式

まずは，指数関数の積分公式を証明します。

例えば，2つめの公式で $a=2$ とすると， $\displaystyle\int 2^xdx=\dfrac{2^x}{\log 2}+C$ のように積分できます。

2つめの式 $$\displaystyle\int a^xdx=\dfrac{a^x}{\log a}+C$$ において，$a=e$ とすると（$\log e=1$ なので）1つめの式： $$\displaystyle\int e^xdx=e^x+C$$ になります。つまり，$a^x$ の積分公式は，$e^x$ の積分公式を含んでいます。

逆に，少しトリッキーですが $e^x$ の積分公式から $a^x$ の積分公式を導出することもできます：

$\displaystyle\int a^xdx\\ =\displaystyle\int e^{\log a^x}dx\\ =\displaystyle\int e^{x\log a}dx\\ =\dfrac{e^{x\log a}}{\log a}+C\\ =\dfrac{a^x}{\log a}+C$

ただし，2つめの等号は，$e^x$ の積分公式と置換積分から分かる公式： $\displaystyle\int e^{px+q}dx=\dfrac{e^{px+q}}{p}+C$ を使いました。

指数関数×多項式の積分は部分積分を繰り返すことで計算できます。瞬間部分積分を使うと計算が楽です。→瞬間部分積分のやり方と例題２問

指数関数×三角関数の積分は部分積分を2回繰り返すことで計算できます。→三角関数と指数関数の積の積分

$\displaystyle\int e^{ax}\cos bxdx=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\cos bx+b \sin bx)+C$

$\displaystyle\int e^{ax}\sin bxdx=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin bx-b \cos bx)+C$

$e^x$ の有理式は $e^x=t$ と置換することで有理関数（多項式÷多項式）の積分に帰着できます。

指数の中身が一次式，つまり $e^{px+q}$ という関数の不定積分は簡単に計算できますが，二次式，つまり $e^{px^2+qx+r}$ になると急に難しくなります。

不定積分は初等関数では表せませんが，定積分 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}dx\:(a > 0)$ を計算することはできます！→ガウス積分の公式の２通りの証明

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