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指数関数(e^xとa^x)の積分と関連する公式

更新日時 2021/03/07
指数関数の積分公式

exdx=ex+C\displaystyle\int e^xdx=e^x+C

axdx=axloga+C\displaystyle\int a^xdx=\dfrac{a^x}{\log a}+C
(ただし,a>0,a1a>0,a\neq 1

指数関数 ex,axe^x,a^x の不定積分,および関連する公式について整理しました。

目次
  • 指数関数の積分の証明

  • exe^x の積分と axa^x の積分の関係

  • 多項式との積

  • 三角関数との積

  • 指数関数 exe^x の有理式の積分

  • ガウス積分

指数関数の積分の証明

まずは,指数関数の積分公式を証明します。

証明

exe^x を微分すると exe^x なので,

exdx=ex+C\displaystyle\int e^xdx=e^x+C

が成立する。

また,指数関数 axa^x を微分すると,axlogaa^x\log a になる(詳しくは→指数関数y=a^xの微分公式の4通りの証明)。
よって,(loga\log a が定数であることに注意すると)axloga\dfrac{a^x}{\log a} を微分すると axa^x になる。つまり,

axdx=axloga+C\displaystyle\int a^xdx=\dfrac{a^x}{\log a}+C

が成立する。

例えば,2つめの公式で a=2a=2 とすると, 2xdx=2xlog2+C\displaystyle\int 2^xdx=\dfrac{2^x}{\log 2}+C のように積分できます。

exe^x の積分と axa^x の積分の関係

2つめの式 axdx=axloga+C\displaystyle\int a^xdx=\dfrac{a^x}{\log a}+C において,a=ea=e とすると(loge=1\log e=1 なので)1つめの式: exdx=ex+C\displaystyle\int e^xdx=e^x+C になります。つまり,axa^x の積分公式は,exe^x の積分公式を含んでいます。

逆に,少しトリッキーですが exe^x の積分公式から axa^x の積分公式を導出することもできます:

axdx=elogaxdx=exlogadx=exlogaloga+C=axloga+C\displaystyle\int a^xdx\\ =\displaystyle\int e^{\log a^x}dx\\ =\displaystyle\int e^{x\log a}dx\\ =\dfrac{e^{x\log a}}{\log a}+C\\ =\dfrac{a^x}{\log a}+C

ただし,2つめの等号は,exe^x の積分公式と置換積分から分かる公式: epx+qdx=epx+qp+C\displaystyle\int e^{px+q}dx=\dfrac{e^{px+q}}{p}+C を使いました。

多項式との積

指数関数×多項式の積分は部分積分を繰り返すことで計算できます。瞬間部分積分を使うと計算が楽です。→瞬間部分積分のやり方と例題2問

例題2

不定積分 x2exdx\displaystyle\int x^2e^xdx を計算せよ。

解答

部分積分を2回繰り返すことにより,

x2exdx=x2ex2xex+2ex+C\displaystyle\int x^2e^xdx=x^2e^x-2xe^x+2e^x+C

であることが分かる。計算の過程は瞬間部分積分の記事参照。

三角関数との積

指数関数×三角関数の積分は部分積分を2回繰り返すことで計算できます。→三角関数と指数関数の積の積分

eaxcosbxdx=eaxa2+b2(acosbx+bsinbx)+C\displaystyle\int e^{ax}\cos bxdx=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\cos bx+b \sin bx)+C

eaxsinbxdx=eaxa2+b2(asinbxbcosbx)+C\displaystyle\int e^{ax}\sin bxdx=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin bx-b \cos bx)+C

指数関数 exe^x の有理式の積分

exe^x の有理式は ex=te^x=t と置換することで有理関数(多項式÷多項式)の積分に帰着できます。

例題1

不定積分 e2xe2x+1dx\displaystyle\int\dfrac{e^{2x}}{e^{2x}+1}dx を計算せよ。

解答

ex=te^x=t と置換すると,dtdx=ex=t\dfrac{dt}{dx}=e^x=t より,与式は

t2t2+11tdt=tt2+1dt=12log(t2+1)+C=12log(e2x+1)+C\displaystyle\int\dfrac{t^2}{t^2+1}\cdot\dfrac{1}{t}dt\\ =\displaystyle\int\dfrac{t}{t^2+1}dt\\ =\dfrac{1}{2}\log (t^2+1)+C\\ =\dfrac{1}{2}\log (e^{2x}+1)+C

となる。

ガウス積分

指数の中身が一次式,つまり epx+qe^{px+q} という関数の不定積分は簡単に計算できますが,二次式,つまり epx2+qx+re^{px^2+qx+r} になると急に難しくなります。

不定積分は初等関数では表せませんが,定積分 eax2dx(a>0)\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}dx\:(a > 0) を計算することはできます!→ガウス積分の公式の2通りの証明

exe^x の積分と axa^x の積分の関係がお気に入りです。

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