置換積分の公式の証明と例題

$\sqrt{x+1}=t$ と置換する。$x$ について解くと $x=t^2-1$ である。

1. 被積分関数を $t$ を用いて表すと， $$t(t^2-1+2)=t^3+t$$ となる。

2. $\dfrac{dx}{dt}=2t$ である。よって，置換積分の公式を使うと，求める不定積分は $$\begin{aligned} &\int (t^3+t)2tdt\\ &=\int 2t^4+2t^2dt\\ &=\dfrac{2}{5}t^5+\dfrac{2}{3}t^3+C \end{aligned}$$

最後に $t=\sqrt{x+1}$ を使って $x$ の式に戻すと， $$\dfrac{2}{5} (x+1)^{\frac{5}{2}} + \dfrac{2}{3} (x+1)^{\frac{3}{2}}+C$$

$f(x)$ の原始関数の一つを $F(x)$ とする。つまり，$\dfrac{dF(x)}{dx}=f(x)$ である。置換積分の公式：

$$\int f(x)dx=\int f(g(t))\dfrac{dx}{dt}dt$$

の左辺は $F(x)+C$ となる。

このとき，$F(x)$ を $t$ で微分すると（合成関数の微分公式より），

$$\begin{aligned} \dfrac{dF(x)}{dt} &= \dfrac{dx}{dt}\dfrac{dF(x)}{dx}\\ &= \dfrac{dx}{dt}\cdot f(x)\\ &= \dfrac{dx}{dt}f(g(t)) \end{aligned}$$

つまり，$\dfrac{dx}{dt}f(g(t))$ の $t$ による不定積分が $F(x)$ となることを表している。すなわち公式の右辺も $F(x)+C$ となる。

$x=\tan\theta\: \left( -\dfrac{\pi}{2} <\theta <\dfrac{\pi}{2} \right)$ と置換する（→注）。

1. 被積分関数を $\theta$ で表すと，$\dfrac{1}{1+\tan^2\theta}=\cos^2\theta$

2. $\dfrac{dx}{d\theta}=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$

3. $x$ が $0$ のとき $\theta=0$，$x=1$ のとき $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ 以上より求める定積分の値は， $$\int_0^{\frac{\pi}{4}}\cos^2\theta\dfrac{1}{\cos^2\theta}d\theta=\dfrac{\pi}{4}$$

$f(x)$ の原始関数の一つを $F(x)$ とする。不定積分の場合の公式より $F(g(t))$ が $f(g(t))\dfrac{dx}{dt}$ の原始関数の一つであることが分かる。よって，

$$\begin{aligned} &\int_a^b f(x)dx\\ &=F(b)-F(a)\\ &=F(g(\beta))-F(g(\alpha))\\ &=\int_{\alpha}^{\beta}f(g(t))\dfrac{dx}{dt}dt \end{aligned}$$