置換積分の公式の証明と例題

$\sqrt{x+1}=t$ と置換する。 $x=t^2-1$ である。

1．被積分関数を $t$ を用いて表すと，$t(t^2-1+2)=t^3+t$ となる。

2． $\dfrac{dx}{dt}=2t$

以上より求める不定積分は

$\displaystyle\int (t^3+t)2tdt\\ =\displaystyle\int 2t^4+2t^2dt\\ =\dfrac{2}{5}t^5+\dfrac{2}{3}t^3+C$

最後に $x$ の式に戻すと，$\dfrac{2}{5}(x+1)^{\frac{5}{2}}+\dfrac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}+C$

$f(x)$ の原始関数の一つを $F(x)$ とする。つまり，$\dfrac{dF(x)}{dx}=f(x)$ である。置換積分の公式：

$\displaystyle\int f(x)dx=\displaystyle\int f(g(t))\dfrac{dx}{dt}dt$

の左辺は $F(x)+C$ となる。

このとき，$F(x)$ を $t$ で微分すると（合成関数の微分公式より），

$\dfrac{dF(x)}{dt}=\dfrac{dx}{dt}\dfrac{dF(x)}{dx}=\dfrac{dx}{dt}\cdot f(x)=\dfrac{dx}{dt}f(g(t))$

つまり，$\dfrac{dx}{dt}f(g(t))$ の $t$ による不定積分が $F(x)$ となることを表している。すなわち公式の右辺も $F(x)+C$ となる。

$x=\tan\theta\:(-\dfrac{\pi}{2} <\theta <\dfrac{\pi}{2})$ と置換する（→注）。

1．被積分関数を $\theta$ で表すと，$\dfrac{1}{1+\tan^2\theta}=\cos^2\theta$

2． $\dfrac{dx}{d\theta}=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$

3． $x$ が $0$ のとき $\theta=0$，$x=1$ のとき $\theta=\dfrac{\pi}{4}$

以上より求める定積分の値は，

$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}\cos^2\theta\dfrac{1}{\cos^2\theta}d\theta=\dfrac{\pi}{4}$

$f(x)$ の原始関数の一つを $F(x)$ とする。不定積分の場合の公式より $F(g(t))$ が $f(g(t))\dfrac{dx}{dt}$ の原始関数の一つであることが分かる。よって，

$\displaystyle\int_a^b f(x)dx\\ =F(b)-F(a)\\ =F(g(\beta))-F(g(\alpha))\\ =\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}f(g(t))\dfrac{dx}{dt}dt$