垂直な直線の方程式の求め方と応用【垂直条件】

更新 2023/08/12

座標平面において，2本の直線が垂直になる条件を2つ紹介します。また，垂直条件の応用例を2つ紹介します。

傾きを用いた直線の垂直条件

2本の直線の傾きが分かるときは，「傾きの積が $−1$ 」という垂直条件が使えます。

垂直条件1

二直線： $y=m_1x+n_1$ と $y=m_2x+n_2$ が直交する $\iff m_1m_2=-1$

例題1

$y=2x$ と垂直で $(0,3)$ を通る直線の式を求めよ。

解答

求める直線の傾きを $m$ とおくと，「傾きの積が $-1$ 」なので

$m\times 2=-1$

つまり $m=-\dfrac{1}{2}$

また， $(0,3)$ を通るので切片は $3$ よって，答えは $y=-\dfrac{1}{2}x+3$

次は，垂直条件1の証明です。

垂直条件1の証明

$y=m_1x+n_1$ と $y=m_2x+n_2$ が垂直

$\iff y=m_1x$ と $y=m_2x$ が垂直（直線の平行移動）

$\iff$ 三点 $(0,0),(1,m_1),(1,m_2)$ が（ $\angle O$ が直角である）直角三角形をなす

$\iff (1^2+m_1^2)+(1^2+m_2^2)=(m_1-m_2)^2$

$\iff m_1m_2=-1$

注：三平方の定理を使いましたが，三角形の相似を使っても証明できます。

一般形の直線の垂直条件

次は，直線の方程式が一般系 $ax+by+c=0$ で表されているときに使える垂直条件です。

垂直条件2

二直線： $a_1x+b_1y+c_1=0$ と $a_2x+b_2y+c_2=0$ が直交する $\iff a_1a_2+b_1b_2=0$

例

$x+2y+3=0$ と $6x-3y+4=0$ という2本の直線は，垂直に交わる。実際，垂直条件2を確認すると

$1\times 6+2\times(-3)=0$

となる。

次は，垂直条件2の証明です。

$ax+by+c=0$ の法線ベクトルが $(a,b)$ であることを使えばスマートに証明できます。（法線ベクトルについては直線の方程式の一般形参照）

垂直条件2の証明

二直線が直交する

$\iff$ 二本の法線が直交する

$\iff$ 二本の法線ベクトルの内積が $0$

$\iff a_1a_2+b_1b_2=0$

注：場合分け＆傾きの条件に帰着させて証明することもできますが，法線ベクトルの考え方は重要なので上の証明を理解してください。

垂直条件の応用例

垂直条件2を利用すると，以下の便利な公式が得られます。

便利な公式

$ax+by+c=0$ に垂直で， $(x_0,y_0)$ を通る直線の方程式は，

$b(x-x_0)-a(y-y_0)=0$

実際，垂直条件2を確認すると，

$a\times b+b\times(-a)=0$ となっています。また，

$b(x-x_0)-a(y-y_0)=0$

が $(x_0,y_0)$ を通ることも簡単にわかります。

例題2

$x-2y+3=0$ に垂直で $(2,1)$ を通る直線の方程式を求めよ。

解答

便利な公式より

$-2(x-2)-(y-1)=0$

つまり， $2x+y-5=0$

→高校数学の問題集　～最短で得点力を上げるために～のT65では，さらなる応用問題と3通りの解法を紹介しています。

二次曲線の法線の方程式

法線とは，与えられた直線（曲線の接線）と直交する直線のことをいいます。

さらに，さきほどの便利な公式を応用することで，二次曲線の法線の方程式を求めることができます。ここでは楕円の場合を考えてみます（双曲線，放物線も同様）。

楕円の法線の方程式

楕円： $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上の点 $A(x_0,y_0)$ における法線の方程式は， $\dfrac{y_0}{b^2}(x-x_0)-\dfrac{x_0}{a^2}(y-y_0)=0$

証明

$A$ における楕円の接線の方程式は， $\dfrac{x_0}{a^2}x+\dfrac{y_0}{b^2}y=1$ （これは有名な公式→楕円の接線を求める公式とその証明）である。

求める法線は，この接線に垂直で $(x_0,y_0)$ を通るので，さきほどの便利な公式より

$\dfrac{y_0}{b^2}(x-x_0)-\dfrac{x_0}{a^2}(y-y_0)=0$

楕円の法線の応用例として，楕円の反射定理とその証明もどうぞ。

また，法線についてもっと知りたい方は法線ベクトルの3通りの求め方と応用をご覧ください。

楕円も双曲線も数学的な性質は似ていますが，私は楕円の方が好きです。

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この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！