置換積分を用いずに積分速度を上げる公式

積分の中身を「$x+1$ を基準にする」ように変形する(→補足1)と，

$(x+1)(x+3)\\ =(x+1)\{(x+1)+2\}\\ =(x+1)^2+2(x+1)$

これを $-1$ から $0$ まで積分すると，

$\left[\dfrac{(x+1)^3}{3}+(x+1)^2\right]_{-1}^0\\ =\dfrac{1}{3}+1\\ =\dfrac{4}{3}$

となる（→補足2）。

$\displaystyle\int \sqrt{x+1}(x+2)dx\\\\ =\displaystyle\int \sqrt{x+1}\{(x+1)+1\}dx\\\\ =\displaystyle\int\left\{(x+1)^{\frac{3}{2}}+(x+1)^{\frac{1}{2}}\right\}dx\\\\ =\dfrac{2}{5}(x+1)^{\frac{5}{2}}+\dfrac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}+C$

$\displaystyle\int \sqrt[3]{2 x-4}(3x+1)dx\\ =\sqrt[3]{2}\cdot 3\displaystyle\int \sqrt[3]{x-2}(x+\frac{1}{3})dx\\ =\sqrt[3]{2}\cdot 3\displaystyle\int \sqrt[3]{x-2}\{(x-2)+\frac{7}{3}\}dx\\ =\sqrt[3]{2}\cdot 3\displaystyle\int \left\{(x-2)^{\frac{4}{3}}+\frac{7}{3}(x-2)^{\frac{1}{3}}\right\}dx\\ =\sqrt[3]{2}\cdot 3\{\frac{3}{7}(x-2)^{\frac{7}{3}}+\frac{7}{4}(x-2)^{\frac{4}{3}}\}+C\\ =\sqrt[3]{2}\{\frac{9}{7}(x-2)^{\frac{7}{3}}+\frac{21}{4}(x-2)^{\frac{4}{3}}\}+C$