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置換積分を用いずに積分速度を上げる公式

更新日時 2021/03/07

(xa)tdx=1t+1(xa)t+1+C\displaystyle\int (x-a)^tdx\\ =\dfrac{1}{t+1}(x-a)^{t+1}+C

(ただし,t1t\neq -1

この記事では,上の公式を用いた「積分速度を上げる小技」を紹介します。

目次
  • 冒頭の公式について

  • 累乗根の中身に1次式がある場合の積分

冒頭の公式について

(xa)tdx=1t+1(xa)t+1+C\displaystyle\int (x-a)^tdx\\ =\dfrac{1}{t+1}(x-a)^{t+1}+C

という公式は,

  • 右辺を微分することで証明できます。合成関数の微分公式を理解していれば簡単に微分できます。
  • tt が整数でないときも一般的に成立します。例えば,t=12t=\dfrac{1}{2} とすると,ルートを含む関数の積分公式になります。
  • この公式自体は教科書レベルですが,様々な場面で活躍します。 以下では,その活躍の一例として,累乗根の中身に1次式があるような積分を紹介します。

累乗根の中身に1次式がある場合の積分

例題1

x+1(x+2)dx\displaystyle\int \sqrt{x+1}(x+2)dx

ルートの中身 x+1x+1yy とおいて置換積分することができますが,以下のように 平行移動を用いて xx ではなく(x+1)(x+1) を基準にして解いたほうが少し早いです。

解答

x+1(x+2)dx=x+1{(x+1)+1}dx={(x+1)32+(x+1)12}dx=25(x+1)52+23(x+1)32+C\displaystyle\int \sqrt{x+1}(x+2)dx\\\\ =\displaystyle\int \sqrt{x+1}\{(x+1)+1\}dx\\\\ =\displaystyle\int\left\{(x+1)^{\frac{3}{2}}+(x+1)^{\frac{1}{2}}\right\}dx\\\\ =\frac{2}{5}(x+1)^{\frac{5}{2}}+\frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}+C

公式は最後の行で使っています。1行目から2行目への変形がポイントです。

やっていることは置換積分と本質的に変わりませんが,置換作業が必要ないのでこちらの解法の方が計算ミスをしにくいですし,時間短縮にもなります。

置換積分,部分積分は高校数学の中でも最も計算ミスをしやすいポイントなので,公式を駆使して計算を単純化しましょう。

ちなみに,1次の項の係数が1でない以下のような問題にも対応することができます。

例題2

2x43(3x+1)dx\displaystyle\int \sqrt[3]{{2}x-4}(3x+1)dx

解答

2x43(3x+1)dx=233x23(x+13)dx=233x23{(x2)+73}dx=233{(x2)43+73(x2)13}dx=233{37(x2)73+74(x2)43}+C=23{97(x2)73+214(x2)43}+C\displaystyle\int \sqrt[3]{2 x-4}(3x+1)dx\\ =\sqrt[3]{2}\cdot 3\displaystyle\int \sqrt[3]{x-2}(x+\frac{1}{3})dx\\ =\sqrt[3]{2}\cdot 3\displaystyle\int \sqrt[3]{x-2}\{(x-2)+\frac{7}{3}\}dx\\ =\sqrt[3]{2}\cdot 3\displaystyle\int \left\{(x-2)^{\frac{4}{3}}+\frac{7}{3}(x-2)^{\frac{1}{3}}\right\}dx\\ =\sqrt[3]{2}\cdot 3\{\frac{3}{7}(x-2)^{\frac{7}{3}}+\frac{7}{4}(x-2)^{\frac{4}{3}}\}+C\\ =\sqrt[3]{2}\{\frac{9}{7}(x-2)^{\frac{7}{3}}+\frac{21}{4}(x-2)^{\frac{4}{3}}\}+C

1行目から2行目の変形で,1次の項の係数が1になるようにくくり出しているのがポイントです。

慣れれば置換積分を行うよりもかなりスピードアップするので,置換積分を用いないこの方法を使いこなせるようになりましょう。

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