ガウスグリーンの定理の入試への応用

$x'=-3a\cos^2t\sin t$

$y'=3a\sin^2t\cos t$ より，

$xy'-yx'=3a^2\cos^2 t\sin ^2t(\cos^2 t+\sin^2 t)\\ =\dfrac{3a^2}{4}\sin^2 2t$

よって，ガウスグリーンの定理より，

$S=\dfrac{3a^2}{8}\displaystyle\int_0^{2\pi}\sin^2 2tdt=\dfrac{3}{8}\pi a^2$

媒介変数が $t$ から $t+\Delta t$ まで動くときに動径が掃く面積を微小な三角形で近似する。原点 $O$ および $A(x(t),y(t))$，$B(x(t+\Delta t),y(t+\Delta t))$ がなす三角形の面積は，有名な面積公式から

$\Delta S=\dfrac{1}{2}|x(t)y(t+\Delta t)-y(t)x(t+\Delta t)|$

ここで，$t$ が少し増加すると点は反時計回りに動くという仮定から絶対値の中身は正なので（→注）

$\Delta S=\dfrac{1}{2}\{x(t)y(t+\Delta t)-y(t)x(t+\Delta t)\}\\ =\dfrac{1}{2}\{x(t)(y(t+\Delta t)-y(t))-y(t)(x(t+\Delta t)-x(t))\}\\ =\dfrac{1}{2}\{x(t)(\dfrac{y(t+\Delta t)-y(t)}{\Delta t})-y(t)(\dfrac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t})\}\Delta t$

両辺を $\Delta t$ で割って $\Delta t\to 0$ の極限を取ると，

$\dfrac{dS}{dt}=\dfrac{1}{2}(xy'-yx')$

これを $t=\alpha$ から $\beta$ まで積分すればガウスグリーンの公式を得る。