アステロイド曲線の重要な性質まとめ

$\theta$ 回転したあと円の中心 $B$ は $\left(\dfrac{3}{4}a\cos\theta, \dfrac{3}{4}a\sin\theta\right)$ となる。

また，$BX$ と $x$ 軸の正の向きがなす角は $\alpha$ は，

$\dfrac{a}{4}(\alpha+\theta)=a\theta$ を満たすので，

$\overrightarrow{BX}=\left(\dfrac{a}{4}\cos 3\theta, -\dfrac{a}{4}\sin 3\theta\right)$

よって，$X$ の座標は，三倍角の公式を用いることにより

$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BX}=(a\cos^3\theta, a\sin^3 \theta)$

であることが分かり，アステロイドの媒介変数表示と一致する。

対称性より，第一象限の面積を計算して $4$ 倍すればよい。

$$\begin{aligned} S &= 4 \int_0^{a}ydx\\ &=4 \int_{\frac{\pi}{2}}^{0}a\sin^3\theta\dfrac{dx}{d\theta}d\theta\\ &=4 \int_{\frac{\pi}{2}}^{0}a\sin^3\theta\cdot (-3a\sin\theta\cos^2\theta)d\theta\\ &=12a^2 \left( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^4\theta d\theta-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^6\theta d\theta \right) \end{aligned}$$

この積分計算は，部分積分と漸化式を用いて頑張る（→ウォリス積分～sinのn乗，cosのn乗の積分公式）：

$$S=12a^2\left(1-\dfrac{5}{6}\right)\dfrac{3}{4}\dfrac{1}{2}\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{3}{8}\pi a^2$$

対称性より，第一象限の長さを計算して $4$ 倍すればよい。

$$\begin{aligned} l &= 4 \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{(\dfrac{dx}{d\theta})^2+(\dfrac{dy}{d\theta})^2}d\theta\\ &= 4a \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{9\cos^2\theta\sin^2 \theta(\cos^2\theta+\sin^2\theta)}d\theta\\ &= 6a \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin 2\theta d\theta\\ &= 6a \end{aligned}$$