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アステロイド曲線の重要な性質まとめ

更新日時 2021/03/07

x23+y23=a23x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}} で表される曲線をアステロイド曲線(星芒形)と呼ぶ。

目次
  • アステロイド曲線の媒介変数表示

  • アステロイド曲線の面積

  • アステロイド曲線の長さ

アステロイド曲線の媒介変数表示

アステロイド

  • アステロイド曲線は媒介変数 θ\theta を用いて x=acos3θ,y=asin3θx=a\cos^3 \theta, y=a\sin^3\theta と表すことができます。

  • アステロイド曲線は,半径 aa の円内を半径 a4\dfrac{a}{4} の円が滑らずに転がるときの1点(図の青い点)の軌跡として表されます。 サイクロイド曲線の軌跡と同様にして以下のように証明できます。

媒介変数表示の導出

アステロイドの表示

θ\theta 回転したあと円の中心 BB(34acosθ,34asinθ)\left(\dfrac{3}{4}a\cos\theta, \dfrac{3}{4}a\sin\theta\right) となる。

また,BXBXxx 軸の正の向きがなす角は α\alpha は,

a4(α+θ)=aθ\dfrac{a}{4}(\alpha+\theta)=a\theta を満たすので,

BXundefined=(a4cos3θ,a4sin3θ)\overrightarrow{BX}=\left(\dfrac{a}{4}\cos 3\theta, -\dfrac{a}{4}\sin 3\theta\right)

よって,XX の座標は,三倍角の公式を用いることにより

OBundefined+BXundefined=(acos3θ,asin3θ)\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BX}=(a\cos^3\theta, a\sin^3 \theta)

であることが分かり,アステロイドの媒介変数表示と一致する。

  • また,アステロイド曲線は,長さ aa の線分が(端点はそれぞれ xx 軸,yy 軸上を動く)移動するときの包絡線として表されます(証明は省略,よい練習問題になる)。

アステロイド曲線の面積

「媒介変数表示された曲線で囲まれた部分の面積公式」に従ってひたすら計算します。入試問題としてはややきつめの計算量です。

面積 S を求める

対称性より,第一象限の面積を計算して 44 倍すればよい。

S=40aydx=4π20asin3θdxdθdθ=4π20asin3θ(3asinθcos2θ)dθ=12a2(0π2sin4θdθ0π2sin6θdθ)S=4\displaystyle\int_0^{a}ydx\\ =4\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}a\sin^3\theta\dfrac{dx}{d\theta}d\theta\\ =4\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}a\sin^3\theta\cdot (-3a\sin\theta\cos^2\theta)d\theta\\ =12a^2(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^4\theta d\theta-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^6\theta d\theta)

この積分計算は,部分積分と漸化式を用いて頑張る(→sinのn乗,cosのn乗の積分公式):

S=12a2(156)3412π2=38πa2S=12a^2\left(1-\dfrac{5}{6}\right)\dfrac{3}{4}\dfrac{1}{2}\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{3}{8}\pi a^2

アステロイド曲線の長さ

「媒介変数表示された曲線の長さの公式」を用いて計算します(今は学習指導要領の範囲外なので,ほとんどの大学の入試では出題されないと思います)。

面積より計算量は少ないです。

曲線の長さを求める

対称性より,第一象限の長さを計算して 44 倍すればよい。

l=40π2(dxdθ)2+(dydθ)2dθ=4a0π29cos2θsin2θ(cos2θ+sin2θ)dθ=6a0π2sin2θdθ=6al=4\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{(\dfrac{dx}{d\theta})^2+(\dfrac{dy}{d\theta})^2}d\theta\\ =4a\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{9\cos^2\theta\sin^2 \theta(\cos^2\theta+\sin^2\theta)}d\theta\\ =6a\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin 2\theta d\theta\\ =6a

名前もグラフの概形もかっこいいので,好きな曲線ランキングがあったらNo1でしょう

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