三次関数の極値を求める2通りの方法

$f'(x)=3x^2+6x-9\\ =3(x^2+2x-3)\\ =3(x+3)(x-1)$

よって，

$x=-3$ で，$f'(x)$ がプラスからマイナスに変わるので極大値を取り，その値は

$(-3)^3+3(-3)^2-9(-3)+1\\ =-27+27+27+1=28$

また，

$x=1$ で，$f'(x)$ がマイナスからプラスに変わるの極小値を取り，その値は

$1+3-9+1=-4$

$f(x)=x^3+3x^2-9x+1$ を $\dfrac{f'(x)}{3}=x^2+2x-3$ で割ると，

$x^3+3x^2-9x+1\\ =(x^2+2x-3)(x+1)-8x+4$

ここで，

$f'(-3)=f'(1)=0$ なので，

極大値は，$f(-3)=-8(-3)+4=28$

極小値は，$f(1)=-8+4=-4$

$f'(x)=3x^2+2ax+b$ の解は, $$x=\dfrac{-a\pm\sqrt{a^2-3b}}{3}$$

よって，$a^2-3b > 0$ のとき極値が存在して，その値は，

$\left(\dfrac{-a\pm\sqrt{a^2-3b}}{3}\right)^3\\ +a\left(\dfrac{-a\pm\sqrt{a^2-3b}}{3}\right)^2\\ +b\left(\dfrac{-a\pm\sqrt{a^2-3b}}{3}\right)+c\\ =\dfrac{-4a^3+9ab+(\pm 4a^2\mp 3b)\sqrt{a^2-3b}}{27}\\ +\dfrac{a^3+a^3-3ab\mp 2a\sqrt{a^2-3b}}{9}\\ +\dfrac{-ab\pm b\sqrt{a^2-3b}}{3}+c\\ =\dfrac{2a^3}{27}-\dfrac{ab}{3}+c\pm\left(\dfrac{2b}{9}-\dfrac{2a^2}{27}\right)\sqrt{a^2-3b}$

$f'(x)=3x^2+2ax+b$ の解は， $$x=\dfrac{-a\pm\sqrt{a^2-3b}}{3}$$

ここで，$f(x)$ を $f'(x)$ で割ると，

$f(x)=f'(x)\left(\dfrac{x}{3}+\dfrac{a}{9}\right)\\ +\left(\dfrac{2}{3}b-\dfrac{2}{9}a^2\right)x+c-\dfrac{ab}{9}$

極値をとる場所では $f'(x)=0$ なので，極値は，

$\left(\dfrac{2}{3}b-\dfrac{2}{9}a^2\right)\left(\dfrac{-a\pm\sqrt{a^2-3b}}{3}\right)\\ +c-\dfrac{ab}{9}\\ =\dfrac{2a^3}{27}-\dfrac{ab}{3}+c\pm\left(\dfrac{2b}{9}-\dfrac{2a^2}{27}\right)\sqrt{a^2-3b}$

となります。