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正五角形の対角線の長さと作図方法

更新日時 2021/03/07

正五角形を(定規とコンパスのみを使って)作図する方法を解説します。

正五角形の作図の原理を理解するために,まずは1辺が1の正五角形の対角線の長さについて考えます。とにかく作図方法だけ知りたい!という方はページ下部のグレー背景部分(2箇所)のみ読んで下さい。

目次
  • 正五角形の対角線の長さ

  • 作図の方針

  • 対角線を作図する

  • 正五角形の作図〜仕上げ

正五角形の対角線の長さ

定理:1辺の長さが1の正五角形の対角線の長さは 1+52\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} である。

正五角形

作図の方針

ここから正五角形の作図方法を解説していきます。細かい書き方の手順を1つ1つ覚えるよりも大雑把な方針を理解してください!

手順1.適当な長さの線分 ABAB を書く

手順2. ABAB1+52\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} 倍の長さの線分を作図する

手順3.正五角形 ABCDEABCDE を作図する

1は当然簡単,2が出来てしまえば3も簡単です。つまり,正五角形の作図方法の最大の山場は2になります。

対角線を作図する

手順2までについて具体的な作図方法を解説します。

  • 線分 ABAB の垂直二等分線を作図することで長さ AB2\dfrac{AB}{2} は作ることができます。

  • 1:2:51:2:\sqrt{5} の直角三角形を使うことで長さ 52AB\dfrac{\sqrt{5}}{2}AB を作ることができます。

以上に注意して手順1,手順2を見てみます。

正五角形の作図

(作図方法)

手順1:まず適当に線分 ABAB を書く。

手順2−1: ABAB の垂直二等分線 ll を作図する。 ABABll の交点(ABAB の中点となる)を MM とおく。

手順2−2:「中心 MM ,半径 ABAB の円(緑)」と ll の交点を PP とする。すると,AP=AM2+MP2=52ABAP=\sqrt{AM^2+MP^2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}AB となる。

手順2−3:「中心 PP ,半径が AB2\dfrac{AB}{2} である円(紫)」と直線 APAP の交点のうち AA と遠い側のものを QQ とする。このとき AQ=1+52ABAQ=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}AB となる。

注:平方根の長さを作図する2通りの方法もどうぞ。

正五角形の作図〜仕上げ

ϕ=1+52AB\phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}AB の長さの線分が作図できればあとは簡単です。

手順3です!

正五角形の作図2

(作図方法〜完結編〜)

中心が AA で半径 ϕ\phi の円と中心が BB で半径 ABAB の円の交点を CC とする。

中心が AA で半径 ϕ\phi の円と中心が BB で半径 ϕ\phi の円の交点を DD とする。

中心が AA で半径 ABAB の円と中心が BB で半径 ϕ\phi の円の交点を EE とする。

ただし,直線 ABAB に関して C,D,EC,D,E が全て同じ側に来るようにとる。すると,ABCDEABCDE は正五角形となる。

当サイト初の作図にまつわる記事です。

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