正五角形の対角線の長さと作図方法

更新日時 2021/03/07

正五角形を(定規とコンパスのみを使って)作図する方法を解説します。

正五角形の作図の原理を理解するために,まずは1辺が1の正五角形の対角線の長さについて考えます。とにかく作図方法だけ知りたい!という方はページ下部のグレー背景部分(2箇所)のみ読んで下さい。

目次
  • 正五角形の対角線の長さ

  • 作図の方針

  • 対角線を作図する

  • 正五角形の作図〜仕上げ

正五角形の対角線の長さ

正五角形の対角線

1辺の長さが1の正五角形の対角線の長さは 1+52\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} である。

正五角形

作図の方針

ここから正五角形の作図方法を解説していきます。細かい書き方の手順を1つ1つ覚えるよりも大雑把な方針を理解してください!

手順1.適当な長さの線分 ABAB を書く

手順2. ABAB1+52\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} 倍の長さの線分を作図する

手順3.正五角形 ABCDEABCDE を作図する

1は当然簡単,2が出来てしまえば3も簡単です。つまり,正五角形の作図方法の最大の山場は2になります。

対角線を作図する

手順2までについて具体的な作図方法を解説します。

作図方法(手順2まで)

手順1:まず適当に線分 ABAB を書く。

手順2−1: ABAB の垂直二等分線 ll を作図する。 ABABll の交点(ABAB の中点となる)を MM とおく。

正五角形の作図

手順2−2:「中心 MM,半径 ABAB の円(緑)」と ll の交点を PP とする。すると,AP=AM2+MP2=52ABAP=\sqrt{AM^2+MP^2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}AB となる。

手順2−3:「中心 PP,半径が AB2\dfrac{AB}{2} である円(紫)」と直線 APAP の交点のうち AA と遠い側のものを QQ とする。このとき AQ=1+52ABAQ=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}AB となる。

作図のポイントは以下です:

  • 線分 ABAB の垂直二等分線を作図することで長さ AB2\dfrac{AB}{2} は作ることができます。
  • 1:2:51:2:\sqrt{5} の直角三角形を使うことで長さ 52AB\dfrac{\sqrt{5}}{2}AB を作ることができます。

注:平方根の長さを作図する2通りの方法もどうぞ。

正五角形の作図〜仕上げ

ϕ=1+52AB\phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}AB の長さの線分が作図できればあとは簡単です。

手順3です!

作図方法〜完結編〜

正五角形の作図2

  • 中心が AA で半径 ϕ\phi の円と中心が BB で半径 ABAB の円の交点を CC とする。
  • 中心が AA で半径 ϕ\phi の円と中心が BB で半径 ϕ\phi の円の交点を DD とする。
  • 中心が AA で半径 ABAB の円と中心が BB で半径 ϕ\phi の円の交点を EE とする。

ただし,直線 ABAB に関して C,D,EC,D,E が全て同じ側に来るようにとる。すると,ABCDEABCDE は正五角形となる。

当サイト初の作図にまつわる記事です。

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