sin18°、cos18°、tan18°【覚えておくと便利な三角比】

$18^{\circ}=\theta$ とおく。

$\sin54^{\circ}=\cos36^{\circ}$ より，$\sin3\theta=\cos2\theta$

両辺を三倍角の公式，倍角の公式を用いて $\sin\theta$ に統一すると，

$$-4\sin^3\theta+3\sin\theta=1-2\sin^2\theta$$

この三次方程式を解くと，$\sin\theta=1,\dfrac{-1\pm \sqrt{5}}{4}$

$0 < \sin\theta < 1$ より，$\sin18^{\circ}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$

図のように，頂角が $36^{\circ}$ である二等辺三角形 $\mathrm{ABC}$ を考える。 $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=x$，$\mathrm{BC}=1$ とする。

$\angle \mathrm{ABC}$ の二等分線と辺 $\mathrm{AC}$ との交点を $\mathrm{D}$ とおくと，$\mathrm{AD}=\mathrm{BD}$ より，$\mathrm{CD}=x-1$

また，$\angle \mathrm{BCD}= \angle \mathrm{BDC} = 72^{\circ}$ となり，三角形 $\mathrm{ABC}$ と三角形 $\mathrm{BCD}$ が相似であることが分かる。

よって，$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}=\mathrm{BC}:\mathrm{CD}$ なので

$x:1=1:x-1$

$x>0$ の解を求めて，$x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

よって，$\sin18^{\circ}=\dfrac{\frac{1}{2} \mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=\dfrac{1}{1+\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$

$z^5=1$ を解けばよい。移行して因数分解すると， $$(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)=0$$ 第二因数について，相反方程式なので $z^2$ で割って変形すると， $$z^2+\dfrac{1}{z^2}+z+\dfrac{1}{z}+1=0$$ $z+\dfrac{1}{z}=t$ とおくと， $$t^2-2+t+1=0$$ つまり，$t=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$

一方，$z+\dfrac{1}{z}=t$ を $z$ について解くと $$z^2-tz+1=0$$ から $z=\dfrac{t\pm\sqrt{t^2-4}}{2}$

以上より，$$z=\dfrac{\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\pm\sqrt{\frac{6\mp2\sqrt{5}}{4}-4}}{2}$$ $$z=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{4}\pm\dfrac{\sqrt{10\pm 2\sqrt{5}}}{4}i$$ ただし，$\pm$ が3つあるが，1つめと3つめは同じ符号を選ぶ。4つの解を得られる。結局， $$\sin 18^{\circ}=\cos 72^{\circ}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}$$ がわかる。

さきほどの導出2において，$\mathrm{BC}$ の中点を $\mathrm{H}$ とすると $$\tan 18^{\circ} = \dfrac{\mathrm{BH}}{\mathrm{AH}}$$ である。

$\mathrm{BH} = \dfrac{1}{2}$ で， $$\begin{aligned} \mathrm{AH} &= \sqrt{\mathrm{AB}^2 - \mathrm{BH}^2}\\ &= \sqrt{x^2 - \dfrac{1}{4}}\\ &= \sqrt{\dfrac{6+2\sqrt{5}}{4} - \dfrac{1}{4}}\\ &= \sqrt{\dfrac{5+2\sqrt{5}}{4}}\\ &= \dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2} \end{aligned}$$ となるため $$\tan 18^{\circ} = \dfrac{1}{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}$$ と計算される。