二重根号の外し方のパターンと外せないものの判定

二重根号を外す例題

$\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$

のように二重根号を外したい！

そこで，両辺を二乗すると，

$5+2\sqrt{6}=a+b+2\sqrt{ab}$

となります。

よって，$a+b=5$ ，$ab=6$ になれば良いです。これは，$a=3,b=2$ とすれば満たせることが分かります。つまり，

$\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$

のように二重根号を外すことができます。

二重根号の外し方（基本パターン）

$\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$

のように二重根号を外すことができました。

より一般に，$\sqrt{A+2\sqrt{B}}$ という二重根号について考えてみます。

$\sqrt{A+2\sqrt{B}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$

の両辺を二乗すると，

$A+2\sqrt{B}=a+b+2\sqrt{ab}$

です。

つまり， 「足して $A$，かけて $B$」となる $2$ つの自然数 $a,b$ を見つけることができれば，

$\sqrt{A+2\sqrt{B}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$

のように二重根号を外すことが出来ます。

引き算の場合

$\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{b}-\sqrt{a}$

のように二重根号を外したい！

そこで，両辺を二乗すると，

$4-2\sqrt{3}=a+b-2\sqrt{ab}$

となります。

よって，$a+b=4$ ，$ab=3$ になれば良いです。これは，$a=1,b=3$ とすれば満たせることが分かります。つまり，

$\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1$

のように二重根号を外すことができます。

より一般に， 「足して $A$，かけて $B$」となる $2$ つの自然数 $a,b\: (b > a)$ を見つけることができれば，

$\sqrt{A-2\sqrt{B}}=\sqrt{b}-\sqrt{a}$

のように二重根号を外すことが出来ます。

2を強引に作りだすパターン

$\sqrt{A+2\sqrt{B}}$ や，$\sqrt{A-2\sqrt{B}}$ という二重根号は， 「足して $A$，かけて $B$」となる数を探すことで外すことができました。では $\sqrt{B}$ の前に2が無い場合は，どうすれば良いでしょうか？

分母の有理化については，分母の有理化や実数化を行う理由もどうぞ。

数字がとにかく大きいパターン

数字が大きくなった場合は，「足して $A$ ，かけて $B$ 」を勘で見つけるのは難しいです。そこで工夫して，解と係数の関係を用いることで二重根号を外すことができます。

この方法を使うことで，どんなに大きい数が出てきても，二次方程式の解を計算すれば二重根号を（外せる場合は）外すことができます。

二重根号が外せない場合とその判定

$A,B$ が適当に与えられたとき，「たして $A$ ,かけて $B$ 」となるような自然数 $a,b$ がいつも存在するとは限りません。

（二重根号を外す問題ではたいてい都合の良い $A,B$ が与えられています）

うまく $a,b$ が取れない場合は残念ながら二重根号を外すことはできません。

実は例5の解法を一般化することで二重根号が外せるかどうか簡単に判定できます！

解説：たして $A$ ，かけて $B$ となる自然数 $a,b$ が存在する条件は，

$x^2-Ax+B=0$ の解が $2$ つとも自然数であること。

よって判別式 $A^2-4B$ が平方数であることが必要。

逆に判別式が平方数なら，解が両方自然数であることも簡単に分かる。

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