二重根号の外し方・外せないものの判定

$\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$

のように二重根号を外したい！

そこで，両辺を二乗すると，

$5+2\sqrt{6}=a+b+2\sqrt{ab}$

よって，$a+b=5$，$ab=6$ になれば良いです。これは，$a=3,b=2$ とすれば満たせます。つまり，

$\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$

のように二重根号を外せます。

$\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{b}-\sqrt{a}$

のように二重根号を外したい！

そこで，両辺を二乗すると，

$4-2\sqrt{3}=a+b-2\sqrt{ab}$

よって，$a+b=4$，$ab=3$ になれば良いです。これは，$a=1,b=3$ とすれば満たせる。つまり，

$\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1$

のように二重根号を外せる。

このままでは上記の公式が使えないので $\sqrt{15}$ の前に強引に $2$ を作り出す：

$\sqrt{4+\sqrt{15}}=\sqrt{\dfrac{8+2\sqrt{15}}{2}}\\ =\dfrac{\sqrt{8+2\sqrt{15}}}{\sqrt{2}}$

これで分子にさきほどの 「足して $8$，かけて $15$」を探すという考え方が使える。$3$ と $5$ が当たり：

$\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$

最後に分母を有理化：

$\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{10}}{2}$

今度はルートの中に邪魔な $3$ を入れることで強引に $2$ を作り出す：

$\sqrt{11-6\sqrt{2}}=\sqrt{11-2\sqrt{18}}$

足して $11$ かけて $18$ となるのは $2$ と $9$ ：

$\sqrt{11-6\sqrt{2}}\\ =\sqrt{9}-\sqrt{2}\\ =3-\sqrt{2}$

たして $44$，かけて $420$ になる $2$ つの数 $a,b$ を直感で求めるのは難しいが，解と係数の関係より，$a,b$ は二次方程式

$x^2-44x+420=0$

の解。

この二次方程式を解の公式で解くと，

$x=22\pm\sqrt{22^2-420}=14, 30$

よって $\sqrt{44+2\sqrt{420}}=\sqrt{30}+\sqrt{14}$