二重根号の外し方・外せないものの判定

公式1と比較して，$a+b=5$,$ab=6$ となるような $a,b$ を見つければよい。

かけ算して6になる数を探すと，$a=3,b=2$ とすればよいことがわかる。よって，答えは

$\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$

公式2と比較して，$a+b=4$,$ab=3$ となるような $a,b$ を見つければよい。

かけ算して3になる数を探すと，$a=3,b=1$ とすればよいことがわかる。よって，答えは

$$\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1$$

公式1の両辺を2乗すると， $$\begin{aligned} (\text{左辺})^2 &= a+b+2\sqrt{ab}\\ (\text{右辺})^2 &= a+b+2\sqrt{ab} \end{aligned}$$ となり両辺は等しい。また，両辺は非負であるため一致する。

公式2の両辺を2乗すると， $$\begin{aligned} (\text{左辺})^2 &= a+b-2\sqrt{ab}\\ (\text{右辺})^2 &= a+b-2\sqrt{ab} \end{aligned}$$ となり両辺は等しい。また，両辺は非負であるため一致する。（$a \geqq b$ に注意）

このままでは上記の公式が使えないので $\sqrt{15}$ の前に強引に $2$ を作り出す：

$$\begin{aligned} \sqrt{4+\sqrt{15}}&=\sqrt{\dfrac{8+2\sqrt{15}}{2}}\\ &=\dfrac{\sqrt{8+2\sqrt{15}}}{\sqrt{2}} \end{aligned}$$

これで分子にさきほどの 「足して $8$，かけて $15$」を探すという考え方が使える。$3$ と $5$ が当たり：

$$\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$$

最後に分母を有理化：

$$\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{10}}{2}$$

今度はルートの中に邪魔な $3$ を入れることで強引に $2$ を作り出す：

$$\sqrt{11-6\sqrt{2}}=\sqrt{11-2\sqrt{18}}$$

足して $11$ かけて $18$ となるのは $2$ と $9$ ：

$$\begin{aligned} \sqrt{11-6\sqrt{2}} &=\sqrt{9}-\sqrt{2}\\ &=3-\sqrt{2} \end{aligned}$$

たして $44$，かけて $420$ になる $2$ つの数 $a,b$ を直感で求めるのは難しいが，解と係数の関係より，$a,b$ は二次方程式

$$x^2-44x+420=0$$

の解である。

この二次方程式を解の公式で解くと，

$$x=22\pm\sqrt{22^2-420}=14, 30$$

よって $$\sqrt{44+2\sqrt{420}}=\sqrt{30}+\sqrt{14}$$