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対称式について覚えておくべき7つの公式

更新日時 2021/03/07

この記事では,対称式の意味と,対称式に関する重要な7つの公式を解説します。

目次
  • 対称式とは

  • 二変数の対称式を基本対称式で表す

  • 三変数の対称式を基本対称式で表す

  • 対称式の基本定理

対称式とは

どの2つの変数を交換しても変わらない多項式のことを対称式と言います。

例えば,x2+y2x^2+y^2 という式で xxyy を交換すると y2+x2y^2+x^2 になります。x2+y2=y2+x2x^2+y^2=y^2+x^2 なので多項式として変わっていません。よって x2+y2x^2+y^2 は対称式です。

他にも,3xy3xyx10+y10+6x2y2x^{10}+y^{10}+6x^2y^2 などは対称式です。

二変数の対称式を基本対称式で表す

定理

xxyy の対称式は x+yx+yxyxy の多項式で表せる。

x+yx+yxyxy のことを基本対称式と言います。

例えば,

  • 公式1:x2+y2=(x+y)22xyx^2+y^2=(x+y)^2-2xy
  • 公式2:x3+y3=(x+y)33xy(x+y)x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)

のように,すべての対称式が x+yx+yxyxy の多項式で表せます。特に上の2つの公式は重要です。

また,xn+ynx^n+y^n を基本対称式で表す際に使えるのが,

  • 公式3:xn+yn=(x+y)(xn1+yn1)xy(xn2+yn2)x^n+y^n=(x+y)(x^{n-1}+y^{n-1})-xy(x^{n-2}+y^{n-2})

という公式です。n1,n2n-1, n-2 の場合が求まれば nn の場合の xn+ynx^n+y^n が求まることを示しています。

また,xyx-y は対称式ではありませんが,

  • 公式4:(xy)2=(x+y)24xy(x-y)^2=(x+y)^2-4xy

という公式を使って「x+yx+yxyxy の値から xyx-y の値を計算する」という問題が頻出です。

上の4つの公式はすべて非常に重要です。

さらに詳しい解説は →2変数の対称式と基本対称式の4つの性質

三変数の対称式を基本対称式で表す

定理

x,y,zx,y,z の対称式は x+y+zx+y+zxy+yz+zxxy+yz+zxxyzxyz の多項式で表せる。

三変数 x,y,zx,y,z に関しての基本対称式は S=x+y+z,T=xy+yz+zx,U=xyzS=x+y+z, T=xy+yz+zx, U=xyz33 つです。全ての対称式は S,T,US, T, U で表すことができるのです。

例えば,

  • 公式5:x2+y2+z2=S22Tx^2+y^2+z^2=S^2-2T
  • 公式6:x3+y3+z3=S33ST+3Ux^3+y^3+z^3=S^3-3ST+3U

のように,すべての対称式が S,T,US,T,U の多項式で表せます。公式5は (x+y+z)2(x+y+z)^2 の展開公式を移項するだけで簡単に導出できます。公式6は因数分解公式を用いれば簡単に導出できます!→因数分解公式(3つの立方和) 具体的には,
x3+y3+z33xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2xyyzzx)x^3+y^3+z^3-3xyz\\ =(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
の右辺第二項に公式5を用いて整理すると導出できます。

また,xn+yn+znx^n+y^n+z^n を基本対称式で表す際に使えるのが,

  • 公式7:Kn=SKn1TKn2+UKn3K_n=SK_{n-1}-TK_{n-2}+UK_{n-3}

です。ただし, xn+yn+zn=Knx^n+y^n+z^n=K_n とおきました。

公式7は公式3の三変数バージョンです。入試レベルではほとんど必要にならない公式なので面白いなあと思うくらいで軽く流しておいてください。数学オリンピックレベルだとたまに活躍します。

対称式の基本定理

この記事では,以下の2つの定理を紹介しました。

  • xxyy の対称式は x+yx+yxyxy の多項式で表せる。
  • x,y,zx,y,z の対称式は x+y+zx+y+zxy+yz+zxxy+yz+zxxyzxyz の多項式で表せる。

より一般的な定理として,全ての対称式は基本対称式で表せるというものがあります。これを対称式の基本定理と言います。詳しくは対称式の基本定理とその証明を参照してください。

対称なものはできるだけ対称なまま変形したいですね。

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