変曲点の意味といろいろな例

更新 2021/03/07

変曲点について，定義・意味・求め方をわかりやすく解説します。

後半では，具体例（三次関数，四次関数，正規分布）を通じて変曲点の理解を深めます。

変曲点の定義

変曲点とは，「上に凸」と「下に凸」がきりかわる点のことです。
変曲点は「二階微分の符号が変化する点」と言うこともできます。

※二階微分と「上に凸」「下に凸」の関係は →上に凸，下に凸な関数と二階微分で解説しています。

変曲点の意味

変曲点には「グラフの曲がり方が変わる点」という意味がある。

文字通り「変曲点」というわけです。

解説

変曲点は「二階微分の符号が変化する点」であった。

「二階微分の符号がプラスからマイナスに変化する」ということは，「一階微分が増加から減少にきりかわる」ということ。

つまり，「接線の傾きが増加から減少にきりかわる」ということ。

変曲点の意味

これは「曲がり方が変わる（ハンドルの切り方が変わる）」と解釈できる。二階微分がマイナスからプラスに変化する場合も同様。

変曲点の求め方

変曲点において，二階微分 $f''(x)=0$

つまり，変曲点を求めるためには，二階微分 $f''(x)$ を計算して $f''(x)=0$ を解けばよいわけです。

例

$f(x)=x^3+3x^2$ の変曲点を計算してみる。

微分は $f'(x)=3x^2+6x$

二階微分は， $6x+6$

よって， $f''(x)=0$ を解くと $x=-1$ であり， $x=-1$ の前後で $f''(x)$ の符号がマイナスからプラスにきりかわる。このとき $y$ 座標は $f(-1)=2$ よって，変曲点の座標は $(-1,2)$

重要な注意

「変曲点ならば二階微分 $f''(x)=0$ 」は成立しますが，その逆「 $f''(x)=0$ ならば変曲点」は成立しません。二階微分が0でも符号が変化する点とは限らないからです。

例

$y=x^4$ の変曲点を計算してみる。 $f'(x)=4x^3,f''(x)=12x^2$ なので， $f''(x)=0$ の解は $x=0$ 。ただし， $f''(x)$ はずっと非負であり， $x=0$ の前後で符号がマイナスに変化することはない。よって，変曲点は無い。

つまり，変曲点の求め方は，以下のようになります（手順2が必要です）。

変曲点の求め方

手順1. $f''(x)=0$ を解いて変曲点の候補を見つける。
手順2. 実際に $f''(x)$ の符号が変化するかどうかを確認する。

三次関数の変曲点

定理

三次関数の変曲点は，必ずただ一つ存在する。

証明

任意の三次関数は $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\:(a \neq 0)$ と書ける。

$\dfrac{df}{dx}=3ax^2+2bx+c$

$\dfrac{d^2f}{dx^2}=6ax+2b$

よって， $x=-\dfrac{b}{3a}$ で二階微分の符号が変化するので変曲点である。

実は，三次関数の変曲点について，追加で以下の2つの定理が成立します。

定理

三次関数は変曲点に関して点対称である。
変曲点に関連して「四等分の法則」が成立する。

「四等分の法則」の意味と，上記2つの定理の証明は →三次関数の対称性と4等分の法則

四次関数の変曲点

定理

四次関数の変曲点は0個または2個。

大雑把な証明

二階微分が二次関数となるので，二階微分の符号変化点の数は0個または2個になる。

変曲点が0個の例： $f(x)=x^4$
変曲点が2個の例： $f(x)=x^4+4x^3+4x^2-1$ →四次関数のグラフの概形と例題2問

正規分布の変曲点

続いて， $f(x)=e^{-ax^2}$ という関数の変曲点について考えます。この関数は，正規分布の確率密度関数という意味でとても重要です。

問題

$f(x)=e^{-ax^2}\:(a > 0)$ の変曲点を求めよ。

解答

$\dfrac{df}{dx}=-2axe^{-ax^2}$

$\dfrac{d^2f}{dx^2}=-2ae^{-ax^2}+(-2ax)^2e^{-ax^2}\\ =2ae^{-ax^2}(2ax^2-1)$

よって， $x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{2a}}$ が変曲点の $x$ 座標。変曲点の $y$ 座標は $e^{-\frac{1}{2}}$

特に， $a=\dfrac{1}{2\sigma^2}$ とすると， $e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}$ の変曲点は $(\pm \sigma,e^{-\frac{1}{2}})$ であることが分かります。

さらに，平行移動と拡大を用いることにより，正規分布の確率密度関数： $\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ の変曲点は $(\mu\pm\sigma,\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2}})$ であることが分かります。高校数学の問題集　～最短で得点力を上げるために～のT168でも解説しています。

つまり，以下が証明できました。

定理

正規分布において，変曲点の $x$ 座標は，1シグマ区間の端っこ（平均 $\pm$ 標準偏差）

人生山あり谷あり変曲点あり。

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この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！