四次関数のグラフの概形と例題２問

まずは四次関数のグラフの概形について，非常に大雑把な特徴を解説します。

以下，四次の係数 $a$ が正であるような四次関数について考えます。

1について，$x$ の絶対値が十分大きいとき，$x^4$ の項が支配的となります。したがって，グラフは上から入ってきて上に抜けていく形（さらに，端の方では下に凸）となります。

2について，$y'=0$ は三次方程式となり，解は高々三つです。したがって，極値を取る点も高々三つです。よって，極小点は二つ以下となります。

以下，極小点が二つの場合と一つの場合の例題を見ていきます。

極小点が二つのパターンです。三次方程式 $y'=0$ が異なる実数解を三つ持つときは極大点，極小点を滑らかにつなげることで概形が書けます。

注：「グラフの概形」と言われたときに増減だけでよいのか，凹凸も調べるべきなのかは 問題の指示or概形を書くことで何をしたいのかによります。

注2：例題1の関数は $y=\{(x+1)^2-1\}^2-1$ と変形できるので，グラフは $x=-1$ に関して対称となります。

極小点が一つのパターンです。三次方程式 $y'=0$ の異なる実数解が二つ以下しかない場合です。

・四次関数のグラフの概形は大きく分けて2タイプ，コブが一つか二つ（ただし，変曲点の位置を考えるともう少し細かくタイプが分かれる）。

・導関数，二階導関数の符号変化を見て増減表とグラフの概形を書けるように。

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