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多項定理の例題と2通りの証明

更新日時 2021/03/07
多項定理

(x1+x2++xk)n(x_1+x_2+\cdots +x_k)^n を展開したときの x1e1x2e2xkekx_1^{e_1}x_2^{e_2}\cdots x_k^{e_k} の係数は

e1+e2++ek=ne_1+e_2+\cdots +e_k=n かつ各 eie_i が非負なら n!e1!e2!ek!\dfrac{n!}{e_1!e_2!\cdots e_k!}

(そうでないなら 00

多項定理は二項定理の拡張です(k=2k=2 のときは二項定理)。前半は具体例,後半は証明です。

目次
  • 多項定理の基本的な例

  • 応用問題

  • 多項定理の証明1

  • 多項定理の証明2

多項定理の基本的な例

(a+b+c)6(a+b+c)^6 を展開したときの a3b2ca^3b^2c の係数は,6!3!2!1!=60\dfrac{6!}{3!2!1!}=60

(a+b+c)6(a+b+c)^6 を展開したときの a4b2a^4b^2 の係数は,6!4!2!0!=15\dfrac{6!}{4!2!0!}=15

0!=10!=1 に注意)

応用問題

例題1

(2x+3y+z+w)4(2x+3y+z+w)^4 を展開したときの x2yzx^2yz の係数を求めよ。

解答

x2yzx^2yz の項は,2x2x22 つ,3y3y11 つ,zz11 つ選んだときに登場する項からのみ出てくる。その項は,

4!2!1!1!0!(2x)2(3y)z=144x2yz\dfrac{4!}{2!1!1!0!}(2x)^2(3y)z=144x^2yz

という項である。つまり,係数は 144144

例題2

(x2+3x+2)5(x^2+3x+2)^5 を展開したときの x8x^8 の係数を求めよ。

解答

x8x^8 の項は「 x2x^244 つ,2211 つ」または「 x2x^233 つ,3x3x22 つ」選んだときに登場する項から出てくる。前者は 5!4!0!1!(x2)42=10x8\dfrac{5!}{4!0!1!}(x^2)^4\cdot 2=10x^8 であり,後者は 5!3!2!0!(x2)3(3x)2=90x8\dfrac{5!}{3!2!0!}(x^2)^3(3x)^2=90x^8 である。

よって,答えは 100100

多項定理の証明1

組合せの議論を使います。よく分からない方は二項定理の意味と2通りの証明の証明1から読んで下さい。

証明

(x1+x2++xk)n(x_1+x_2+\cdots +x_k)^n を展開したときに出てくる1つの項は,

x1x_1 から xkx_k の中でどれか 11 つを選ぶ」という操作を nn 回行い,選んだものを全てかけあわせたもの。このようにして出てくる項を全て(knk^n 個)足し合わせると展開式が得られる。

よって,展開後は x1x_1 から xkx_k の指数の和が nn である項のみが登場し,その係数は n!e1!ek!\dfrac{n!}{e_1!\cdots e_k!} である(nn 回のうちどの e1e_1 回で x1x_1 を選び,どの e2e_2 回で x2x_2 を選び,\cdots ,どの eke_k 回で xkx_k を選ぶかのパターンの数,これは同じものを含む順列の公式から分かる)。

多項定理の証明2

二項定理+数学的帰納法でも証明できます。

証明

kk に関する帰納法で証明する。 k=1k=1 のときは自明,k=2k=2 のときは二項定理そのもの。

kk まで正しいと仮定すると,二項定理より,

(x1++xk+xk+1)n={(x1++xk)+xk+1}n=t=0nnCt(x1++xk)txk+1nt(x_1+\cdots +x_k+x_{k+1})^n\\ =\{(x_1+\cdots +x_{k})+x_{k+1}\}^n\\ =\displaystyle\sum_{t=0}^n{}_n\mathrm{C}_t(x_1+\cdots +x_{k})^tx_{k+1}^{n-t}

目標の項は t=nek+1t=n-e_{k+1} の部分から出てくる。 t=nek+1t=n-e_{k+1} の部分は,

nCnek+1(x1++xk)nek+1xk+1ek+1=n!(nek+1!)ek+1!(x1++xk)nek+1xk+1ek+1{}_n\mathrm{C}_{n-e_{k+1}}(x_1+\cdots +x_k)^{n-e_{k+1}}x_{k+1}^{e_{k+1}}\\ =\dfrac{n!}{(n-e_{k+1}!)e_{k+1}!}(x_1+\cdots +x_k)^{n-e_{k+1}}x_{k+1}^{e_{k+1}}

よって,帰納法の仮定より,x1e1xk+1ek+1x_1^{e_1}\cdots x_{k+1}^{e_{k+1}} の項の係数は,

n!(nek+1)!ek+1!(nek+1)!e1!ek!=n!e1!ek+1!\dfrac{n!}{(n-e_{k+1})!e_{k+1}!}\cdot \dfrac{(n-e_{k+1})!}{e_1!\cdots e_k!}\\ =\dfrac{n!}{e_1!\cdots e_{k+1}!}

多項定理は教科書には登場しませんが,k=3k=3 の場合については軽く言及されています。

Tag:数学2の教科書に載っている公式の解説一覧

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