二項定理の意味と係数を求める例題・２通りの証明

二項定理の公式の意味

二項定理は，

「$(a+b)^n$ を展開したときの各項の係数は ${}_{n}\mathrm{C}_k$ になる」

という定理です。

例えば，二項定理で $n=3$ の場合を書き下してみると，

$$\begin{aligned} (a+b)^3 &= \sum_{k=0}^3{}_3\mathrm{C}_ka^{3-k}b^{k}\\ &={}_3\mathrm{C}_0a^3+{}_3\mathrm{C}_1a^2b+{}_3\mathrm{C}_2ab^2+{}_3\mathrm{C}_3b^3 \end{aligned}$$

となります。

二項定理を理解するために必要な知識

$\displaystyle\sum_{k=0}^n$ とは「$k$ に $0$ から $n$ まで順番に代入して足し算する」という意味です。

また，${}_n\mathrm{C}_k$ とは，$n$ 個から $k$ 個を選ぶ組合せの数（二項係数）です。 →順列と組合せの違いと例題

例題

二項定理を用いて係数を計算する

二項定理より， $$(a+b)^5=\displaystyle\sum_{k=0}^5{}_5\mathrm{C}_ka^{5-k}b^{k}$$ となる。よって，$a^2b^3$ が現れる項は $k=3$ の部分であり，係数は

$${}_5\mathrm{C}_3=\dfrac{5\cdot 4\cdot 3}{3\cdot 2\cdot 1}= 10$$ である。

二項定理より， $$(2x-y)^6=\displaystyle\sum_{k=0}^6{}_6\mathrm{C}_k(2x)^{6-k}(-y)^{k}$$ となる。よって，$x^3y^3$ が現れる項は $k=3$ の部分であり，係数は

$${}_6\mathrm{C}_32^3(-1)^3=-160$$

数列の和への応用

二項定理をうまく当てはめます。

$$\begin{aligned} &{}_{n} \mathrm{C}_{0} + {}_{n} \mathrm{C}_{1} + {}_{n} \mathrm{C}_{2} + \cdots + {}_{n} \mathrm{C}_{n}\\ &= {}_{n} \mathrm{C}_{0} 1^n 1^0+ {}_{n} \mathrm{C}_{1} 1^{n-1} 1^1\\ &\quad\quad + {}_{n} \mathrm{C}_{2} 1^{n-2} 1^2 + \cdots + {}_{n} \mathrm{C}_{n} 1^0 1^n\\ &= (1+1)^n\\ &= 2^n \end{aligned}$$

例3 の計算と同様にすると $$\begin{aligned} &{}_{2n} \mathrm{C}_{0} + {}_{2n} \mathrm{C}_{1} + {}_{2n} \mathrm{C}_{2} + \cdots + {}_{2n} \mathrm{C}_{2n}\\ &= (1+1)^{2n}\\ &= 2^{2n}\\ &{}_{2n} \mathrm{C}_{0} - {}_{2n} \mathrm{C}_{1} + {}_{2n} \mathrm{C}_{2} - \cdots + {}_{2n} \mathrm{C}_{2n}\\ &= (1-1)^{2n}\\ &= 0 \end{aligned}$$ です。これらを足すと $$2 ( {}_{2n} \mathrm{C}_{0} + \cdots + {}_{2n} \mathrm{C}_{2n} ) = 2^{2n}$$ となります。よって $${}_{2n} \mathrm{C}_{0} + {}_{2n} \mathrm{C}_{2} + \cdots + {}_{2n} \mathrm{C}_{2n} = 2^{2n-1}$$ です。

パスカルの三角形と二項係数の関係

パスカルの三角形における $n+1 \;(n \geq 0)$ 行目の数の並びが，$(a + b)^n$ の係数になっています。例えば，$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ ですが，係数の $(1,3,3,1)$ は $4$ 行目に対応しています。

$n$ があまり大きくない時には，パスカルの三角形の図を書いて計算できます。

パスカルの三角形の面白い性質について，パスカルの三角形の性質とフラクタルの記事で解説をしています。合わせて読んでみてください。

二項定理の頻出形

二項定理で，$a=1,b=x$ としたバージョン： $$(1+x)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n{}_n\mathrm{C}_kx^{k}$$ も頻出です。

ちなみに，上式は二項定理の特殊ケースに見えますが，こちらからもとのバージョンを導出することもできます（$x=\dfrac{a}{b}$ とおいて両辺に $b^n$ をかける）。

答えは，${}_{100}\mathrm{C}_2=\dfrac{100\cdot 99}{2}=4950$

二項定理の証明1

二項定理の証明を2つ紹介します。

${}_n\mathrm{C}_k={}_n\mathrm{C}_{n-k}$ なので，二項定理を

$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n{}_n\mathrm{C}_ka^{k}b^{n-k}$$

と書いてもOKです。後者の式を証明します。

まずは，教科書にも載っている定番の方法です。組合せの議論を用います。

二項定理の証明2

教科書には載っていませんが，二項定理を数学的帰納法で証明することもできます。「任意の自然数に対して〜を証明せよ」というタイプの問題で困ったら帰納法にトライです。 →数学的帰納法のパターンまとめ

最後に用いた二項係数の公式は二項係数の有名公式一覧と2つの証明方針で解説しています。

2つの証明のうちどちらが分かりやすいかは人による気がしますが，ぜひ両方とも理解してください。

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