二項定理の意味と係数を求める例題・２通りの証明

更新日時 2022/10/06

二項定理

二項定理とは， $n$ 乗の式を展開するための以下の公式のこと： $(a+b)^n = \sum_{k=0}^n{}_n\mathrm{C}_ka^{n-k}b^{k}$

二項定理(英：binomial theorem)は見た目が少し複雑ですが，慣れてしまえば難しくありません。二項定理の意味と，二項定理の2通りの証明を解説します。

二項定理の公式の意味

二項定理は，
「(a+b)n(a+b)^n(a+b)n を展開したときの各項の係数は nCk{}_{n}\mathrm{C}_kn​Ck​ になる」
という定理です。
例えば，二項定理で
n=3n=3n=3
 の場合を書き下してみると，
(a+b)3=∑k=033Cka3−kbk=3C0a3+3C1a2b+3C2ab2+3C3b3\begin{aligned}
(a+b)^3 &= \sum_{k=0}^3{}_3\mathrm{C}_ka^{3-k}b^{k}\\
&={}_3\mathrm{C}_0a^3+{}_3\mathrm{C}_1a^2b+{}_3\mathrm{C}_2ab^2+{}_3\mathrm{C}_3b^3
\end{aligned}(a+b)3​=k=0∑3​3​Ck​a3−kbk=3​C0​a3+3​C1​a2b+3​C2​ab2+3​C3​b3​
となります。
二項定理を理解するために必要な知識∑k=0n\displaystyle\sum_{k=0}^nk=0∑n​
 とは「kkk
 に
000
 から
nnn
 まで順番に代入して足し算する」という意味です。
また，nCk{}_n\mathrm{C}_kn​Ck​
 とは，nnn
 個から
kkk
 個を選ぶ組合せの数（二項係数）です。
→順列と組合せの違いと例題

例題

二項定理を用いて係数を計算する

例

$(a+b)^5$ を展開したときの $a^2b^3$ の係数を計算せよ。

解答

二項定理より， $(a+b)^5=\displaystyle\sum_{k=0}^5{}_5\mathrm{C}_ka^{5-k}b^{k}$ となる。よって， $a^2b^3$ が現れる項は $k=3$ の部分であり，係数は

${}_5\mathrm{C}_3=\dfrac{5\cdot 4\cdot 3}{3\cdot 2\cdot 1}= 10$ である。

例2

$(2x-y)^6$ を展開したときの $x^3y^3$ の係数を計算せよ。

解答

二項定理より， $(2x-y)^6=\displaystyle\sum_{k=0}^6{}_6\mathrm{C}_k(2x)^{6-k}(-y)^{k}$ となる。よって， $x^3y^3$ が現れる項は $k=3$ の部分であり，係数は

${}_6\mathrm{C}_32^3(-1)^3=-160$

数列の和への応用

例3

${}_{n} \mathrm{C}_{0} + {}_{n} \mathrm{C}_{1} + {}_{n} \mathrm{C}_{2} + \cdots + {}_{n} \mathrm{C}_{n}$ を求めよ。

解答

二項定理をうまく当てはめる：

$\begin{aligned} &{}_{n} \mathrm{C}_{0} + {}_{n} \mathrm{C}_{1} + {}_{n} \mathrm{C}_{2} + \cdots + {}_{n} \mathrm{C}_{n}\\ &= {}_{n} \mathrm{C}_{0} 1^n 1^0+ {}_{n} \mathrm{C}_{1} 1^{n-1} 1^1\\ &\quad\quad + {}_{n} \mathrm{C}_{2} 1^{n-2} 1^2 + \cdots + {}_{n} \mathrm{C}_{n} 1^0 1^n\\ &= (1+1)^n\\ &= 2^n \end{aligned}$

例4

${}_{2n} \mathrm{C}_{0} + {}_{2n} \mathrm{C}_{2} + {}_{2n} \mathrm{C}_{4} + \cdots + {}_{2n} \mathrm{C}_{2n}$ を求めよ。

解答

例3 の計算と同様にすると $\begin{aligned} &{}_{2n} \mathrm{C}_{0} + {}_{2n} \mathrm{C}_{1} + {}_{2n} \mathrm{C}_{2} + \cdots + {}_{2n} \mathrm{C}_{2n}\\ &= (1+1)^{2n}\\ &= 2^{2n}\\ &{}_{2n} \mathrm{C}_{0} - {}_{2n} \mathrm{C}_{1} + {}_{2n} \mathrm{C}_{2} - \cdots + {}_{2n} \mathrm{C}_{2n}\\ &= (1-1)^{2n}\\ &= 0 \end{aligned}$ これらを足すと $2 ( {}_{2n} \mathrm{C}_{0} + \cdots + {}_{2n} \mathrm{C}_{2n} ) = 2^{2n}$ となる。よって ${}_{2n} \mathrm{C}_{0} + {}_{2n} \mathrm{C}_{2} + \cdots + {}_{2n} \mathrm{C}_{2n} = 2^{2n-1}$

パスカルの三角形と二項係数の関係

パスカルの三角形

以下の2つの規則から作られる三角形をパスカルの三角形という。

最頂点の数と，各行の左右の端の数は全て $1$
各行の左右の端以外は，左上の数と右上の数の和

パスカルの三角形

パスカルの三角形における $n+1 \;(n \geq 0)$ 行目の数の並びが， $(a + b)^n$ の係数になっています。例えば， $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ ですが，係数の $(1,3,3,1)$ は $4$ 行目に対応しています。

$n$ があまり大きくない時には，パスカルの三角形の図を書いて計算できます。

パスカルの三角形の面白い性質について，パスカルの三角形の性質とフラクタルの記事で解説をしています。合わせて読んでみてください。

二項定理の頻出形

二項定理で， $a=1,b=x$ としたバージョン： $(1+x)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n{}_n\mathrm{C}_kx^{k}$ も頻出です。

例5

$(1+x)^{100}$ を展開したときの $x^2$ の係数を計算せよ。

解答

答えは， ${}_{100}\mathrm{C}_2=\dfrac{100\cdot 99}{2}=4950$

ちなみに， $(1+x)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n{}_n\mathrm{C}_kx^{k}$ は二項定理の特殊ケースに見えますが，こちらからもとのバージョンを導出することもできます。実際 $x=\dfrac{a}{b}$ とおいて両辺に $b^n$ をかけると，

$\left(1+\dfrac{a}{b}\right)^nb^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n{}_n\mathrm{C}_ka^kb^{n-k}$

となりますが，左辺は $X^nY^n=(XY)^n$ に注意して変形すると $(a+b)^n$ になります。

二項定理の証明1

二項定理の証明を2つ紹介します。
nCk=nCn−k{}_n\mathrm{C}_k={}_n\mathrm{C}_{n-k}n​Ck​=n​Cn−k​
 なので，二項定理を
(a+b)n=∑k=0nnCkakbn−k
(a+b)^n=\sum_{k=0}^n{}_n\mathrm{C}_ka^{k}b^{n-k}
(a+b)n=k=0∑n​n​Ck​akbn−k
と書いてもOKです。後者の式を証明します。
まずは，教科書にも載っている定番の方法です。組合せの議論を用います。
証明
n=3n=3n=3
 の場合を図に示す。
(a+b)n(a+b)^n(a+b)n
 を展開したときに出てくる1つの項は，
「aaa と bbb のうちどちらかを選ぶ」という操作を各カッコに対して行い，選んだものを全てかけあわせたもの。このようにして出てくる項を全て（2n2^n2n
 個）足し合わせると展開式が得られる。
よって，展開後は
akbn−ka^{k}b^{n-k}akbn−k
 というタイプの項のみが存在し，その係数は
nCk{}_n\mathrm{C}_kn​Ck​
（nnn
 個のうちどの
kkk
 個のかっこから
aaa
 を選ぶのかで
nCk{}_n\mathrm{C}_kn​Ck​
 通り）である。

二項定理の証明2

教科書には載っていませんが，二項定理を数学的帰納法で証明することもできます。「任意の自然数に対して〜を証明せよ」というタイプの問題で困ったら帰納法にトライです。 →数学的帰納法をわかりやすく【例題3問、応用5パターン】

証明

$n=1$ のときは成立する。
$n=m-1$ のとき二項定理が成立していると仮定する。 $(a+b)^{m-1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1}{}_{m-1}\mathrm{C}_ka^{k}b^{m-1-k}$ 両辺に $(a+b)$ をかける。 $(a+b)^{m}=(a+b)\left(\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1}{}_{m-1}\mathrm{C}_ka^{k}b^{m-1-k}\right)$ 右辺を展開したときには $a^kb^{m-k}$ というタイプの項のみが登場し，その係数は ${}_{m-1}\mathrm{C}_k+{}_{m-1}\mathrm{C}_{k-1}$ である。ここで，二項係数の公式より ${}_{m-1}\mathrm{C}_k+{}_{m-1}\mathrm{C}_{k-1}={}_{m}\mathrm{C}_k$ なので $n=m$ のときにも二項定理が成立することが分かった。