多項式の割り算の二通りの計算方法と例題

更新日時 2022/01/15

整式の除法

任意の多項式 $A(x),B(x)$ に対して，

$A(x)=B(x)Q(x)+R(x)$
$Rの次数<Bの次数$

を満たす多項式 $Q(x)$ ， $R(x)$ がただ一つ定まる。 $Q$ を商， $R$ を余りと言う。

多項式の割り算
方法1：恒等式の問題にする
方法2：筆算
二つの方法の比較，例題

多項式の割り算多項式
A,BA,BA,B
 が与えられたときに割り算をする（Q,RQ,RQ,R
 を求める）2通りの方法を解説します。
Aの次数<Bの次数Aの次数<Bの次数Aの次数<Bの次数
 のときはつまらないです。つまり，Q(x)=0,R(x)=A(x)Q(x)=0,R(x)=A(x)Q(x)=0,R(x)=A(x) となり割り算で何も起こらないので，以下
Aの次数≥Bの次数Aの次数 \geq Bの次数Aの次数≥Bの次数
 の場合を考えます。

方法1：恒等式の問題にする

例題1

$A(x)=x^3+2x^2+5$ を $B(x)=x^2-x+4$ で割った商と余りを求めよ。

方針

商を $Q$ ，余りを $R$ とすると $A=BQ+R$ より， $A$ の次数＝ $B$ の次数＋ $Q$ の次数です。よって， $Q$ が一次式であることがわかります。

次数に注意しながら恒等式の問題にします。

解答

商 $Q$ は一次式，余り $R$ は一次以下の式なので， $Q(x)=ax+b,R(x)=cx+d$ とおける。

$x^3+2x^2+5=(x^2-x+4)(ax+b)+cx+d$

が恒等式となる $a,b,c,d$ を求めればよい。右辺を展開すると， $ax^3+(b-a)x^2+(4a-b+c)x+4b+d$

となる。係数比較すると

$1=a,2=b-a,0=4a-b+c,5=4b+d$

これを解くと， $a=1,b=3,c=-1,d=-7$

よって，商は $x+3$ ，余りは $-x-7$

係数比較の際に，高次の項の式から順々に見ていくことで $a,b,c,d$ が順々に一つずつ決まっていきます。この例題以外でも同じような構造になります。
試験では出てきた値をもとの赤字の等式に代入して恒等式であることを再確認（検算）することをオススメします。

方法2：筆算

多項式の割り算を筆算でやる方法です！

例題を使ってやり方を解説します。

例題1（再掲）

$A(x)=x^3+2x^2+5$ を $B(x)=x^2-x+4$ で割った商と余りを求めよ。

解答

ステップ1：割る式と割られる式の係数を並べる。
図の上側のように $A(x)$ の係数 $1,2,0,5$ と $B(x)$ の係数 $1,-1,4$ を書きます。存在しない項は係数 $0$ とみなすことに注意してください。多項式の割り算の筆算

ステップ2：数字に対する割り算と同じように筆算する（左の桁を1つずつ消していくように）。
図の下側のように割り算を筆算で実行してください。

ステップ3：右端まで行ったらストップ。上に商の係数が並び，下に余りの係数が並ぶ。
この場合，商の係数は順番に $1,3$ なので $Q(x)=x+3$ ，

余りの係数は順番に $-1,-7$ なので $R(x)=-x-7$ と分かります。

二つの方法の比較，例題慣れたら方法2（筆算）の方がかなり早いですが，割り算の意味，構造は方法1（恒等式）の方が分かりやすいです。
B(x)B(x)B(x)
が一次式（特に一次の係数が1）のときは組立除法を使うとさらにスピーディーにできます。
最後に例題をもう一問。
例題2
A(x)=−2x4A(x)=-2x^4A(x)=−2x4
 を
B(x)=x2−1B(x)=x^2-1B(x)=x2−1
 で割った商と余りを求めよ。
方法1による解答：商は二次式，余りは一次以下の式なので，
−2x4=(x2−1)(ax2+bx+c)+dx+e-2x^4=(x^2-1)(ax^2+bx+c)+dx+e−2x4=(x2−1)(ax2+bx+c)+dx+e
を満たす
aaa
 〜
eee
 を求めればよい。
係数比較すると
a=−2,b=0,c=−2,d=0,e=−2a=-2,b=0,c=-2,d=0,e=-2a=−2,b=0,c=−2,d=0,e=−2
 となるので商は
−2x2−2-2x^2-2−2x2−2，余りは
−2-2−2
方法2による解答：図のように筆算をすると，方法1と同じ答えを得る。
注：A(x)=−2x4+0x3+0x2+0x+0A(x)=-2x^4+0x^3+0x^2+0x+0A(x)=−2x4+0x3+0x2+0x+0
 なので
000
 が4つ並んでいる。
計算ミスしやすいポイントなので検算も忘れないようにしてください！
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この記事の編集者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！