多項式の割り算の二通りの計算方法と例題

ステップ1：割る式と割られる式の係数を並べる。
図の上側のように $A(x)$ の係数 $1,2,0,5$ と $B(x)$ の係数 $1,-1,4$ を書きます。存在しない項は係数 $0$ とみなすことに注意してください。

ステップ2：数字に対する割り算と同じように筆算する（左の桁を1つずつ消していくように）。
図の下側のように割り算を筆算で実行してください。

ステップ3：右端まで行ったらストップ。上に商の係数が並び，下に余りの係数が並ぶ。
この場合，商の係数は順番に $1,3$ なので $Q(x)=x+3$ ，

余りの係数は順番に $-1,-7$ なので $R(x)=-x-7$ と分かります。

商 $Q$ は一次式，余り $R$ は一次以下の式なので，$Q(x)=ax+b,R(x)=cx+d$ とおける。

$x^3+2x^2+5=(x^2-x+4)(ax+b)+cx+d$

が恒等式となる $a,b,c,d$ を求めればよい。右辺を展開すると，$ax^3+(b-a)x^2+(4a-b+c)x+4b+d$

となる。係数比較すると

$1=a,2=b-a,0=4a-b+c,5=4b+d$

これを解くと，$a=1,b=3,c=-1,d=-7$

よって，商は $x+3$ ，余りは $-x-7$

図のように筆算をすると，商は $-2x^2-2$，余りは $-2$

商は二次式，余りは一次以下の式なので，

$-2x^4=(x^2-1)(ax^2+bx+c)+dx+e$

を満たす $a$ 〜 $e$ を求めればよい。

係数比較すると $a=-2,b=0,c=-2,d=0,e=-2$ となるので商は $-2x^2-2$，余りは $-2$