微分

• 連続とは，関数のグラフがつながっていること。
• 微分可能とは，関数のグラフが滑らかであること。

$$\left\{\dfrac{f(x)}{g(x)}\right\}'=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}$$

任意の $a > 0$ に対して $y=a^x$ の導関数は，$y'=a^x\log a$ である。

$$(\sin x)'=\cos x$$

$y=\cos x$ の導関数は，$y'=-\sin x$

任意の正の整数 $n$ に対し，$(x^n)'=nx^{n-1}$

• 極大（きょくだい）とは，近所で一番大きいことを表す。
• 最大とは，全体で一番大きいことを表す。

$y=\tan x$ の導関数は，$y'=\dfrac{1}{\cos^2 x}$

• $(\sin x)' = \cos x$
• $(\cos x)' = -\sin x$
• $(\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}$

$$f'(a)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

$${f'(x)}=\lim_{ h \to 0 } \dfrac{ f(x+h)-f(x) }{ h }$$

$0\leq x\leq \dfrac{\pi}{2}$ において，

$\dfrac{2}{\pi}x\leq \sin x\leq x$

媒介変数 $\theta$ を用いて

$x(\theta)=a(\theta-\sin\theta)$
$y(\theta)=a(1-\cos\theta)$

と表される曲線をサイクロイド（Cycloid）と呼ぶ。

$f(x),\:g(x)$ が（考えている区間で）微分可能なとき

$$\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$

$\sin x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\cdots$

$\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\cdots$

$\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{\frac{dy}{dx}}$

逆関数の微分は，もとの関数の微分の逆数

$y=f(x)$ と $y=g(x)$ が $x=a$ で接する
$\iff$ $f(a)=g(a)$ かつ $f'(a)=g'(a)$

1. $f(x,y)$ が全微分可能で $x = x(t)$，$y = y(t)$ が微分可能であるとき次が成り立つ。 $$\dfrac{df}{dt} = \dfrac{\partial f}{\partial x} \dfrac{dx}{dt} + \dfrac{\partial f}{\partial y} \dfrac{dy}{dt}$$

2. $f(x,y)$ が全微分可能で $x = x(u,v)$，$y = y(u,v)$ が微分可能であるとき次が成り立つ。 $$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial f}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial f}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial x}\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial f}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial y}+\dfrac{\partial f}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial y}$$

$\sin x =x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\cdots$

$\cos x =1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots$

$e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots$

$\log(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\cdots$

※ただし，$\log (1+x)$ に関しては $-1 < x\leqq 1$ でのみ成立する式です。

$(fg)^{(n)}={\displaystyle \sum_{k=0}^{n} {}_n\mathrm{C}_kf^{(k)}g^{(n-k)}}$

対数関数と1次関数の積なので，2階微分は扱いやすい式（有理式）になることが分かります。多少計算は大変ですが，見通しが立っているので安心して計算できます。

$f(x)$ が区間内で二階微分可能なとき，

• 下に凸 $\iff$ 二階微分 $f''(x)\geqq 0$
• 上に凸 $\iff$ 二階微分 $f''(x)\leqq 0$

$|x|\leq 1$ なる実数 $x$ について，

$\mathrm{Arctan}\:x=x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}-\dfrac{x^7}{7}+\cdots$

$a\leqq x\leqq b$ で微分可能な関数 $f(x)$ に対して，

$\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$

を満たす $c$ が $a$ と $b$ の間に存在する。

$-1 < x \leq 1$ のとき，

$\log (1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots$

$x\fallingdotseq a$ のとき，

$f(x)\fallingdotseq f(a)+f'(a)(x-a)$

$xy$ 平面上において $x^3+y^3-3axy=0$

で表される曲線をデカルトの葉線と言う。

サイクロイド曲線 $C:$ $$\begin{cases} x = a(\theta - \sin \theta)\\ y = a(1-\cos \theta) \end{cases}$$ （$a>0, 0 \leqq \theta \leqq 2 \pi$）について，

• $C$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積は $3 \pi a^2$
• $x$ 軸周りの回転体の体積は $5\pi^2 a^3$
• 長さは $8a$

$x,y>0$ かつ $x\neq y$ のとき，

$\sqrt{xy}<\dfrac{x-y}{\log x-\log y}<\dfrac{x+y}{2}$

曲線に対して，その曲線に巻きつけられた糸をたるませないようにほどいていくときに糸の端点が描く軌跡のことを伸開線(Involute)と言う。

$|x| < 1$ なる実数 $x$ について，

$$\begin{aligned} \arcsin x &= x + \dfrac{1}{6} x^3 + \dfrac{3}{40} x^5 + \cdots\\ \arccos x &= \dfrac{\pi}{2} - x - \dfrac{1}{6} x^3 - \dfrac{3}{40} x^5 - \cdots \end{aligned}$$

となる。

座標平面上の点 $\mathrm{A} (0,0)$，$\mathrm{B} (0,1)$，$\mathrm{C} (1,1)$，$\mathrm{D} (1,0)$ を考える。実数 $0 < t < 1$ に対して，線分 $\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$ を $t : (1-t)$ に内分する点をそれぞれ $\mathrm{P}_t$，$\mathrm{Q}_t$，$\mathrm{R}_t$ とし，線分 $\mathrm{P}_t \mathrm{Q}_t$，$\mathrm{Q}_t \mathrm{R}_t$ を $t:(1-t)$ に内分する点をそれぞれ $\mathrm{S}_t$，$\mathrm{T}_t$ とする。さらに線分 $\mathrm{S}_t \mathrm{T}_t$ を $t:(1-t)$ に内分する点を $\mathrm{U}_t$ とする。

1. 点 $\mathrm{U}_t$ の座標を求めよ。
2. $t$ が $0 \leqq t\leqq 1$ の範囲を動くときに点 $\mathrm{U}_t$ が描く曲線と，線分 $\mathrm{AD}$ で囲まれた部分の面積を求めよ。
3. $a$ を $0 < a < 1$ を満たす実数とする。$t$ が $0 \leqq t \leqq a$ の範囲を動くときに点 $\mathrm{U}_t$ が描く曲線の長さを，$a$ の多項式の形で求めよ。

関数 $f(x)$ が $\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ と無限級数展開されているとする。

この級数の収束半径を $r$ とすると，$|x| < r$ のもとで項別微分・項別積分ができる：

$$\begin{aligned} f'(x) &= \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}\\ \int f(x) dx &= \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{a_n x^{n+1}}{n+1} + C \end{aligned}$$

スカラー $t$ を変数とするベクトル $\boldsymbol{a}$ の微分を $$\dfrac{d}{dt} \boldsymbol{a} = \lim_{h \to 0} \dfrac{\boldsymbol{a} (t+h) - \boldsymbol{a} (t)}{h}$$ と定義する。計算結果はベクトル。