分数関数の微分公式(商の微分)とその証明・計算例

$$\begin{aligned} h'(x)=& \lim_{h\to 0}\dfrac{h(x+h)-h(x)}{h}\\ =&\lim_{h\to 0}\dfrac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{h}\\ =&\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{h}\dfrac{1}{g(x)g(x+h)}\\ \end{aligned}$$

目標は $h'(x)$ を $f'(x)$ や $g'(x)$ を用いて表すことなので，微分の定義式が出てくるように変形する。すなわち上式は，

$$\begin{aligned} \lim_{h\to 0}&\dfrac{(f(x+h)g(x)-f(x)g(x))-(f(x)g(x+h)-f(x)g(x))}{h}\dfrac{1}{g(x)g(x+h)}\\ &=\dfrac{{f'(x)}g(x)-f(x){g'(x)}}{g(x)^2} \end{aligned}$$

$h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ を $h(x)=f(x)g(x)^{-1}$ と見て積の微分公式を当てはめると，

$$\begin{aligned} &h'(x)=f'(x)g(x)^{-1}+f(x)(g(x)^{-1})' \end{aligned}$$

ここで $(g(x)^{-1})'=(-1)g'(x)g(x)^{-2}$ であるので，代入して

$$\begin{aligned} h'(x)&=f'(x)g(x)^{-1}+f(x)(-1)g'(x)g(x)^{-2}\\\\ &=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))g(x)^{-2}\\\\ &=\dfrac{{f'(x)}g(x)-f(x){g'(x)}}{g(x)^2} \end{aligned}$$

分数関数の微分公式を利用すると， $$\begin{aligned} y'&= \dfrac{(x)'(x^2+1)-x(x^2+1)'}{(x^2+1)^2}\\ &=\dfrac{(x^2+1)-2x^2}{(x^2+1)^2}\\ &=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2} \end{aligned}$$

となる。

例題1と同様にして， $$\begin{aligned} y'&= \dfrac{(x)'\sqrt{1-x^2}-x(\sqrt{1-x^2})'} {(\sqrt{1-x^2})^2}\\ &=\dfrac{\sqrt{1-x^2}-x\dfrac{1}{2}\dfrac{(-2x)}{\sqrt{1-x^2}}}{(\sqrt{1-x^2})^2}\\ &=\dfrac{(1-x^2)+x^2}{{1-x^2}}\\ &=\dfrac{1}{1-x^2} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} y'&=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\\ &=\dfrac{\cos \theta (\cos \theta)-\sin \theta(-\sin \theta)}{\cos^{2} \theta}\\ &=\dfrac{1}{\cos^{2} \theta} \end{aligned}$$