ゼロ乗（0乗），マイナス乗，分数乗，無理数乗

$m,n$ がともに正の整数のとき，指数法則 $a^{m+n}=a^ma^n$ が成り立っていました。これが $n$ や $m$ が $0$ のときにも成り立って欲しいと考えます。

$n=0$ とすると $a^m=a^0a^m$ となり，$a^m\neq 0$ より $a^0=1$ となります。

$a^3=1\times a\times a\times a$

$a^2=1\times a\times a$

$a^1=1\times a$

と来たら

$a^0=1$

と定義したくなります。

$m,n$ が負の数のときにも指数法則 $a^{m+n}=a^ma^n$ が成り立って欲しいと考えます。 $n=-m$ としてみると，$a^{0}=a^ma^{-m}$ となり，$a^{m}=\dfrac{1}{a^{-m}}$ を得ます。

$a^2=a^2$

$a^1=a^2\div a$

$a^0=a^2\div a\div a$

と来たら

$a^{-1}=a^2\div a\div a\div a=\dfrac{1}{a}$

$a^{-2}=a^2\div a\div a\div a\div a=\dfrac{1}{a^2}$

と定義したくなります。

$x,y$ が有理数のときにも指数法則 $a^{x+y}=a^xa^y$ が成り立って欲しいと考えます。これを繰り返し使うと「 $a^q$ は $a^{\frac{q}{p}}$ を $p$ 回かけたもの」という式が得られます。

つまり，$a^{\frac{q}{p}}=\sqrt[p]{a^q}=(\sqrt[p]{a})^q$ と定義したくなります。