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対数の基本的な性質とその証明

更新日時 2021/03/07
  1. logaM+logaN=logaMN\log_a M+\log_a N=\log_a MN

  2. logaMp=plogaM\log_a M^p=p\log_a M

  3. loga1M=logaM\log_a \dfrac{1}{M}=-\log_a M

  4. logaMlogaN=logaMN\log_a M-\log_a N=\log_a \dfrac{M}{N}

  5. loga1=0\log_a 1=0

  6. logab=logcblogca\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}

目次
  • 証明の前に

  • 公式の証明

証明の前に

ab=c    logac=ba^b=c\iff \log_a c=b (対数の定義)

です。この式から全ての公式を証明していきます。

なお,底 aa00 より大きく 11 でない実数です(底の条件)。真数 cc00 より大きい実数です(真数条件)。

公式の証明

まずは1と2を対数の定義および指数法則を使って証明します。

1の証明

logaM+logaN=logaMN\log_a M+\log_a N=\log_a MNの証明です。

logaM=x\log_a M=xlogaN=y\log_a N=y とおくと,対数の定義より,

ax=M,ay=Na^x=M,a^y=N

よって,指数法則を使うと,

ax+y=axay=MNa^{x+y}=a^xa^y=MN

となる。これは(対数の定義より)logaMN=x+y\log_a MN=x+y

であることを表している。

2の証明

logaMp=plogaM\log_a M^p=p\log_a Mの証明です。

logaM=x\log_a M=x とおくと,対数の定義より,

ax=Ma^x=M

よって,指数法則を使うと,

apx=Mpa^{px}=M^p

となる。これは(対数の定義より)logaMp=px\log_a M^p=px

であることを表している。

次に,1と2を使って3,4,5を証明します。

3の証明

loga1M=logaM\log_a \frac{1}{M}=-\log_a Mの証明です。

2において p=1p=-1 とすれば3を得る。

M1=1MM^{-1}=\frac{1}{M}

4の証明

logaMlogaN=logaMN\log_a M-\log_a N=\log_a \frac{M}{N}の証明です。

1において N1NN\to \dfrac{1}{N} とすると,

logaM+loga1N=logaMN\log_a M+\log_a \dfrac{1}{N}=\log_a \dfrac{M}{N}

となる。この左辺第二項に3を使うと4を得る。

5の証明

loga1=0\log_a 1=0の証明です。

2において p=0p=0 とすれば5を得る。

a0=1a^0=1 であることから直接分かる,この方が素直)

なお,6については底の変換公式の証明と例題で詳しく解説しています。

1~6を使えばほとんどの対数の計算問題を突破できますが,覚えておくと便利な対数の公式3点セットを使えばさらに見通しよく計算できることもあります。

最近ネタ切れに困っていますが,1000記事までは頑張りたいです。

Tag:数学2の教科書に載っている公式の解説一覧

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