まずは1と2を対数の定義および指数法則を使って証明します。
1の証明
logaM+logaN=logaMNの証明です。
logaM=x
,logaN=y
とおくと,対数の定義より,
ax=M,ay=N
よって,指数法則を使うと,
ax+y=axay=MN
となる。これは(対数の定義より)logaMN=x+y
であることを表している。
2の証明
logaMp=plogaMの証明です。
logaM=x
とおくと,対数の定義より,
ax=M
よって,指数法則を使うと,
apx=Mp
となる。これは(対数の定義より)logaMp=px
であることを表している。
次に,1と2を使って3,4,5を証明します。
3の証明
logaM1=−logaMの証明です。
2において
p=−1
とすれば3を得る。
(M−1=M1
)
4の証明
logaM−logaN=logaNMの証明です。
1において
N→N1
とすると,
logaM+logaN1=logaNM
となる。この左辺第二項に3を使うと4を得る。
5の証明
loga1=0の証明です。
2において
p=0
とすれば5を得る。
(a0=1
であることから直接分かる,この方が素直)
なお,6については底の変換公式の証明と例題で詳しく解説しています。
1~6を使えばほとんどの対数の計算問題を突破できますが,覚えておきたい対数(log)の応用公式4点セットを使えばさらに見通しよく計算できることもあります。
最近ネタ切れに困っていますが,1000記事までは頑張りたいです。
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