対数の基本的な性質とその証明

$\log_a M+\log_a N=\log_a MN$の証明です。

$\log_a M=x$ ，$\log_a N=y$ とおくと，対数の定義より，

$a^x=M,a^y=N$

よって，指数法則を使うと，

$a^{x+y}=a^xa^y=MN$

となる。これは（対数の定義より）$\log_a MN=x+y$

であることを表している。

$\log_a M^p=p\log_a M$の証明です。

$\log_a M=x$ とおくと，対数の定義より，

$a^x=M$

よって，指数法則を使うと，

$a^{px}=M^p$

となる。これは（対数の定義より）$\log_a M^p=px$

であることを表している。

$\log_a \frac{1}{M}=-\log_a M$の証明です。

2において $p=-1$ とすれば3を得る。

（$M^{-1}=\frac{1}{M}$ ）

$\log_a M-\log_a N=\log_a \frac{M}{N}$の証明です。

1において $N\to \dfrac{1}{N}$ とすると，

$\log_a M+\log_a \dfrac{1}{N}=\log_a \dfrac{M}{N}$

となる。この左辺第二項に3を使うと4を得る。

$\log_a 1=0$の証明です。

2において $p=0$ とすれば5を得る。

（$a^0=1$ であることから直接分かる，この方が素直）