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底の変換公式の証明と例題

更新日時 2021/03/07

底の変換公式:

a,b,c>0a,b,c > 0a,c1a,c\neq 1 のとき

logab=logcblogca\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}

この記事では,底の変換公式について,意味や証明方法を解説します。

目次
  • 底の変換公式とは

  • 底の変換公式の証明

  • 底の変換公式の使い方のコツ

  • 底の変換公式を使う例題

底の変換公式とは

底の変換公式とは,対数の計算にしばしば使う

logab=logcblogca\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}

という公式のことです。

例えば,a=2,b=3,c=5a=2,b=3,c=5 としてみると,

log23=log53log52\log_2 3=\dfrac{\log_5 3}{\log_5 2}

という式が成立します。

底の変換公式の証明

底の変換公式

logab=logcblogca\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}

を証明してみましょう。証明に使うのは,対数の定義と対数の性質:

logcaX=Xlogca\log_c a^X=X\log_c a

のみです。

証明

ad=ba^d=b を満たす実数 ddlogab\log_a b とする」というのが対数の定義であった。

つまり,alogab=ba^{\log_ab}=b が成立する。

両辺の対数を取る(底は cc )と,

logcalogab=logcb\log_c a^{\log_a b}=\log_c b

ここで,対数の性質: logcaX=Xlogca\log_c a^X=X\log_c a を用いて左辺を変形すると以下を得る。

logablogca=logcb\log_a b\log_c a=\log_c b

両辺を logca\log_c a で割ると底の変換公式を得る。

底の変換公式の使い方のコツ

底の変換公式:

logab=logcblogca\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}

は「対数の底を aa から cc に変換できる」と見ることができます。そのため,底の変換公式は,対数の底をそろえるために使われます。

底の決め方(いくつにそろえるか)で迷う人がいますが,後述の例で見るように 底はなんでもOKです。

底の変換公式を使う例題

例題1

log48\log_4 8 を計算せよ。

解答

底の変換公式を使って底を 22 にするのがスタンダードな考え方。

log48=log28log24=log223log222=32\log_4 8=\dfrac{\log_2 8}{\log_2 4} =\dfrac{\log_2 2^3}{\log_2 2^2} =\dfrac{3}{2}

別解

底は 22 である必要はない。なんでもよい。

log48=logc8logc4=logc23logc22=3logc22logc2=32\log_4 8=\dfrac{\log_c 8}{\log_c 4} =\dfrac{\log_c 2^3}{\log_c 2^2} =\dfrac{3\log_c 2}{2\log_c 2} =\dfrac{3}{2}

注:慣れていれば普通に 432=84^{\frac{3}{2}}=8 より log48=32\log_4 8=\dfrac{3}{2} ,と一瞬で計算できます。

例題2

log35log57log79\log_3 5\log_5 7\log_7 9 を計算せよ。

解答

例えば底を 33 にそろえるのがスタンダードな考え方。

log35log57log79=log35log33log37log35log39log37=log39log33=2\log_3 5\log_5 7\log_7 9\\ =\dfrac{\log_3 5}{\log_3 3}\dfrac{\log_3 7}{\log_3 5}\dfrac{\log_3 9}{\log_3 7}\\ =\dfrac{\log_3 9}{\log_3 3}\\ =2

別解

底は 33 である必要はない。なんでもよい。

log35log57log79=logc5logc3logc7logc5logc9logc7=logc9logc3=logc32logc3=2logc3logc3=2\log_3 5\log_5 7\log_7 9\\ =\dfrac{\log_c 5}{\log_c 3}\dfrac{\log_c 7}{\log_c 5}\dfrac{\log_c 9}{\log_c 7}\\ =\dfrac{\log_c 9}{\log_c 3}\\ =\dfrac{\log_c 3^2}{\log_c 3}\\ =\dfrac{2\log_c 3}{\log_c 3}\\ =2

なお,覚えておくと便利な対数の公式3点セットの公式(ii)を使えば一発で

log35log57log79=log39=2\log_3 5\log_5 7\log_7 9=\log_3 9=2 が分かります。

底の変換公式は,底の「 aca\to c 」という変換です。 cc がなんでも良いというのが面白いです。

Tag:数学2の教科書に載っている公式の解説一覧

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