底の変換公式の証明と例題

$a=4,b=8,c=2$ として底の変換公式を使うと， $$\log_4 8=\dfrac{\log_2 8}{\log_2 4}$$ となり底が $2$ になった。$\log_2 4=2$，$\log_2 8=3$ なので，右辺は $\dfrac{3}{2}$ になる。

「$a^d=b$ を満たす実数 $d$ を $\log_a b$ とする」というのが対数の定義であった。

つまり，$a^{\log_ab}=b$ が成立する。

両辺の対数を取る（底は $c$ ）と，

$$\log_c a^{\log_a b}=\log_c b$$

ここで，対数の性質： $\log_c a^X=X\log_c a$ を用いて左辺を変形すると以下を得る。

$$\log_a b\log_c a=\log_c b$$

両辺を $\log_c a$ で割ると底の変換公式を得る。

底の変換公式を使って底を $2$ にするのがスタンダードな考え方。

$$\log_4 8=\dfrac{\log_2 8}{\log_2 4} =\dfrac{\log_2 2^3}{\log_2 2^2} =\dfrac{3}{2}$$

スタンダードであるだけで，底は $2$ である必要はない。なんでもよい。

$$\log_4 8=\dfrac{\log_c 8}{\log_c 4} =\dfrac{\log_c 2^3}{\log_c 2^2} =\dfrac{3\log_c 2}{2\log_c 2} =\dfrac{3}{2}$$

底は何でもいいが，$9 = 3^2$ で $5,7$ は素数であることから $3$ にそろえるのがオススメ。

$$\begin{aligned} &\log_3 5\log_5 7\log_7 9\\ &=\dfrac{\log_3 5}{\log_3 3}\dfrac{\log_3 7}{\log_3 5}\dfrac{\log_3 9}{\log_3 7}\\ &=\dfrac{\log_3 9}{\log_3 3}\\ &=2 \end{aligned}$$

もちろん底は $3$ である必要はない。なんでもよい。

$$\begin{aligned} &\log_3 5\log_5 7\log_7 9\\ &=\dfrac{\log_c 5}{\log_c 3}\dfrac{\log_c 7}{\log_c 5}\dfrac{\log_c 9}{\log_c 7}\\ &=\dfrac{\log_c 9}{\log_c 3}\\ &=\dfrac{\log_c 3^2}{\log_c 3}\\ &=\dfrac{2\log_c 3}{\log_c 3}\\ &=2 \end{aligned}$$