三角形の成立条件とその証明

3辺の長さが $a,\:b,\:c$ であるような三角形 $ABC$ が存在したとする。 $BC=a,\:CA=b,\:AB=c$ とおく。

$A$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $H$ とおく。

三平方の定理より，

$c^2=BH^2+AH^2 > BH^2,\\b^2=AH^2+CH^2 > CH^2$

よって，$c > BH,\: b > CH$

• $H$ が辺 $BC$ 上にあるとき，
  $a=CH+BH$ より，$a <b+c$

• そうでないとき，
  $a <BH+CH$ より，$a <b+c$

対称性より残り2本の三角不等式も成立する。

まず，長さ $a$ の線分 $BC$ を書く。

次に，$B$ を中心とした半径 $c$ の円 $O_1$ と $C$ を中心とした半径 $b$ の円 $O_2$ を書く。

三角不等式が成立するとき，$|b-c| <a <b+c$ なので，円 $O_1$ と $O_2$ は2点で交わる。（→注）

その交点の $1$ つを $A$ とおく。$A$ は直線 $BC$ 上にない点であり，$AB=c,\:BC=a,\:CA=b$ を満たす。よって，3辺の長さが $a,\:b,\:c$ である三角形 $ABC$ が構成できた。

$B(0,0),\:C(a,0)$ となる直交座標で考える。

$O_1:x^2+y^2=c^2\\ O_2:(x-a)^2+y^2=b^2$

である。これらを連立させて解いたときに解が2つあることを証明すればよい。

まず，$y$ を消去すると，$x=\dfrac{a^2-b^2+c^2}{2a}$ を得る。

これを $O_1$ の式に代入して，

$y^2=c^2-\left(\dfrac{a^2-b^2+c^2}{2a}\right)^2$

となる。この右辺が正なら，解が二つあることが言える。

実際右辺を計算（通分して因数分解）すると，

$\dfrac{1}{4a^2}(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)$

となり，三角不等式が成立するなら正である。