ヘロンの公式の証明と使用例

$a=5, b=6, c=7$ としてヘロンの公式を用いる。

1．まず $s$ を求める

$$s=\dfrac{5+6+7}{2}=9$$

2．そして面積を計算する

$$\begin{aligned} S&=\sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)}\\ &=\sqrt{9\cdot 4\cdot 3\cdot 2}=6\sqrt{6} \end{aligned}$$

手順1. $S$ を3辺の長さ $a,b,c$ のみで表す

サインを用いた面積公式より，

$$S=\dfrac{1}{2}ab\sin C$$

となる。$\sin^2C+\cos^2C=1$ を用いて $\sin$ を $\cos$ に直すと，

$$S=\dfrac{1}{2}ab\sqrt{1-\cos^2C}$$

となる。余弦定理より $\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ なので

$$S=\dfrac{1}{2}ab\sqrt{1-\left(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)^2}$$

手順2. 式を整理して因数分解する

上式の右辺を変形していくと，

$$\begin{aligned} S &= \dfrac{1}{2}ab\sqrt{1-\left( \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right)^2}\\ &=\dfrac{1}{4}\sqrt{(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2}\:\:\:\cdots(*)\\ &=\dfrac{1}{4}\sqrt{(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)}\\ &=\dfrac{1}{4}\sqrt{\{(a+b)^2-c^2\}\{c^2-(a-b)^2\}}\\ &=\dfrac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}\\ &=\sqrt{\dfrac{(a+b+c)}{2}\dfrac{(-a+b+c)}{2}\dfrac{(a-b+c)}{2}\dfrac{(a+b-c)}{2}}\\ &=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \end{aligned}$$

$s=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{7}+3}{2}$ となりヘロンの公式は使えない（煩雑になる）。

そこで，$a^2=5,b^2=7,c^2=9$ として上記の公式を用いると，

$$\begin{aligned} S&=\dfrac{1}{4}\sqrt{2(35+63+45)-(25+49+81)}\\ &=\dfrac{\sqrt{131}}{4} \end{aligned}$$