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ヘロンの公式の証明と使用例

更新日時 2021/03/07

ヘロンの公式とは,三角形の3辺の長さから面積を求めるための公式です。

ヘロンの公式

3辺の長さが a,b,ca, b, c の三角形の面積 SS は,

s=a+b+c2s=\dfrac{a+b+c}{2}

と置くと,

S=s(sa)(sb)(sc)S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

で計算できる。この公式をヘロンの公式と言う。 ヘロンの公式

目次
  • ヘロンの公式の使用例

  • ヘロンの公式の使用例2

  • ヘロンの公式の証明

  • 辺の長さが無理数の場合

ヘロンの公式の使用例

例題1

三辺の長さが 5,6,75,6,7 であるような三角形の面積を,ヘロンの公式を使って求めよ。

ヘロンの公式の使用例

解答

a=5,b=6,c=7a=5, b=6, c=7 としてヘロンの公式を用いる。

1.まず ss を求める

s=5+6+72=9s=\frac{5+6+7}{2}=9

2.そして面積を計算する

S=9(95)(96)(97)=9432=66S=\sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)}\\ =\sqrt{9\cdot 4\cdot 3\cdot 2}=6\sqrt{6}

ヘロンの公式の使用例2

例題2

三辺の長さが 6,7,106,7,10 であるような三角形の面積を求めよ。

解答

a=6,b=7,c=10a=6,b=7,c=10 としてヘロンの公式を用いる。

1.まず ss を求める

s=6+7+102=232s=\dfrac{6+7+10}{2}=\dfrac{23}{2}

2.そして面積を計算する

S=232(2326)(2327)(23210)=2321129232=34759S=\sqrt{\frac{23}{2}(\frac{23}{2}-6)(\frac{23}{2}-7)(\frac{23}{2}-10)}\\ =\sqrt{\frac{23}{2}\cdot\frac{11}{2}\cdot\frac{9}{2}\cdot\frac{3}{2}}\\ =\dfrac{3}{4}\sqrt{759}

ヘロンの公式の証明

ヘロンの公式を証明する方法はいろいろありますが,ここでは余弦定理を用いて素直に計算する方法を紹介します。

証明

手順1. SS を3辺の長さ a,b,ca,b,c のみで表す

サインを用いた面積公式より,

S=12absinCS=\dfrac{1}{2}ab\sin C

となる。sin2C+cos2C=1\sin^2C+\cos^2C=1 を用いて sin\sincos\cos に直すと,

S=12ab1cos2CS=\dfrac{1}{2}ab\sqrt{1-\cos^2C}

となる。余弦定理より cosC=a2+b2c22ab\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab} なので

S=12ab1(a2+b2c22ab)2S=\dfrac{1}{2}ab\sqrt{1-\left(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)^2}

手順2. 式を整理して因数分解する

上式の右辺を変形していくと, 12ab1(a2+b2c22ab)2=14(2ab)2(a2+b2c2)2()=14(2ab+a2+b2c2)(2aba2b2+c2)=14{(a+b)2c2}{c2(ab)2}=14(a+b+c)(a+bc)(ab+c)(a+b+c)=(a+b+c)2(a+b+c)2(ab+c)2(a+bc)2=s(sa)(sb)(sc)\frac{1}{2}ab\sqrt{1-(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab})^2}\\ =\frac{1}{4}\sqrt{(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2}\hspace{20mm}(*)\\ =\frac{1}{4}\sqrt{(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)}\\ =\frac{1}{4}\sqrt{\{(a+b)^2-c^2\}\{c^2-(a-b)^2\}}\\ =\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}\\ =\sqrt{\frac{(a+b+c)}{2}\frac{(-a+b+c)}{2}\frac{(a-b+c)}{2}\frac{(a+b-c)}{2}}\\ =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

また,タンジェントの加法定理などを用いてエレガントに証明することもできます!→タンジェントの美しい関係式の後半部分参照。

辺の長さが無理数の場合

各辺の長さが無理数のときは s=a+b+c2s=\dfrac{a+b+c}{2} が汚らしい値になってしまうので,ヘロンの公式は使えません。しかし,辺の長さがもし無理数でも n\sqrt{n} という形なら以下の式を用いることでそれなりに素早く計算できます。

S=142(a2b2+b2c2+c2a2)(a4+b4+c4)S=\dfrac{1}{4}\sqrt{2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4)}

(ヘロンの公式の証明の途中式(※)のルートの中身を整理することで得られます。)

例題3

三辺の長さが 5,7,3\sqrt{5},\sqrt{7},3 であるような三角形の面積を求めよ。

解答

s=5+7+32s=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{7}+3}{2} となりヘロンの公式は使えない(煩雑になる)。

そこで,a2=5,b2=7,c2=9a^2=5,b^2=7,c^2=9 として上記の公式を用いると,

S=142(35+63+45)(25+49+81)=1314S=\dfrac{1}{4}\sqrt{2(35+63+45)-(25+49+81)}=\dfrac{\sqrt{131}}{4}

注:この変形版公式は他にも点と平面の距離公式とその証明の二つ目の証明に使われています。

コメント:円に内接する四角形についても似たような公式が成立します。→ブラーマグプタの公式とその証明

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