高校物理で習う近似解は $2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$
厳密解は
$4\sqrt{\dfrac{l}{g}}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\phi}{\sqrt{1-\sin^2\frac{\theta_0}{2}\sin^2\phi}}$

→単振り子の周期（近似解と厳密解の比較）

二次元において運動方程式を極座標で記述すると，

$m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)=F_r$

$m\dfrac{1}{r}\dfrac{d}{dt}(r^2\dot{\theta})=F_{\theta}$

→二次元極座標における運動方程式とその導出

地球は「焦点の1つが太陽であるような楕円軌道」を描く。

→地球の公転軌道が楕円であることの導出

質量が $M$ ，半径が $R$ の球の（中心を通る軸まわりの）慣性モーメントは $I=\dfrac{2}{5}MR^2$

→球の慣性モーメントの2通りの求め方

例題1

$\dfrac{dx}{dt} -3 x = e^t + 1$ の一般解を求めよ。

→微分方程式の解法(同次形・線形微分方程式)

例題

次の連立微分方程式を解け。 $\begin{cases} \dfrac{dx_1(t)}{dt} = x_1(t)-2x_2(t)\\ \dfrac{dx_2(t)}{dt} = x_1(t) +4x_2(t) \end{cases}$ ただし $x_1(0)=1,x_2(0)=-2$ とする。

→連立微分方程式の3通りの解き方

リッカチの微分方程式

$\dfrac{dx}{dt} = f(t) x^2+ g(t) x +h(t)$

という形の微分方程式をリッカチ(Riccati)の微分方程式と言う。ただし $f(t),g(t),h(t)$ は与えられた $t$ の関数である。

→リッカチの微分方程式・ベルヌーイの微分方程式

定理

定数係数の $n$ 階斉次線形微分方程式 $\dfrac{d^n x}{dt^n} + a_{n-1} \dfrac{d^{n-1} x}{dt^{n-1}} + \cdots + a_{1} \dfrac{dx}{dt} + a_0 x = 0 \quad \cdots \quad (\mathrm{i})$ の解の集合は， $n$ 次元のベクトル空間になる。

→n階斉次線形微分方程式の解空間

リプシッツ条件について解説します。リプシッツ条件は，

大雑把に言うと「出力の変動が，入力の変動の定数倍でおさえられる」という条件です。詳しくは後述します。
微分方程式の初期値問題を考えるときに重要な条件です。
リプシッツ条件を満たせば，微分方程式の解が一意に定まるので嬉しいです。

→リプシッツ条件と微分方程式の解の一意性

東大数学科院試 2021から抜粋

初期値が $x(1) = a$ ， $\dfrac{dx}{dt} (1) = b$ となる微分方程式 $\dfrac{d^2 x}{dt^2} - \dfrac{2}{t^2} x = \dfrac{2}{t}$ の解 $x(t)$ を求めよ。

ただし $t$ は正の実数とする。

→微分方程式の例題（東大院2021から）

定義

関数 $f(x)$ に対して $\mathscr{L} [f] (s)=\int_0^{\infty} e^{-sx}f(x)\, dx$ という「 $s$ についての関数を返す変換」をラプラス変換という。

→ラプラス変換の定義と具体例・性質

この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！