リプシッツ条件と微分方程式の解の一意性

微分方程式の初期値問題

以下の微分方程式を考えます： $\begin{cases} \dfrac{dx}{dt} = f(t,x)\\ x(t_0) = x_0 \end{cases}$ $t=t_0$ における $x$ の値（初期値）が与えられており「初期値問題」と言います。

微分方程式の初期値問題では，解が1つに定まる嬉しい場合と，残念ながら1つに定まらない場合があります。

解が1つに定まらない例

次の微分方程式を考えます： $\begin{cases} \dfrac{dx}{dt} = 3 x^{\frac{2}{3}}\\ x(0) = 0 \end{cases}$

変数分離型の微分方程式なので，定石に従って解くと $\int \dfrac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} dx = \int dt\\ x^{\frac{1}{3}} = t+C$ となります。 $t=0$ で $x=0$ なので $C=0$ です。よって， $x = t^3$ となります。

一方， $x (t) = 0$ もまた元の方程式を満たします。

もっと言うと， $x(t) = \begin{cases} t^3 &(t < 0)\\ 0 &(0 \leqq t < 1)\\ (t-1)^3 &(1 \leqq t) \end{cases}$ もまた元の方程式を満たします。解がたくさんありますね。

リプシッツ条件と解の一意性

では，微分方程式の初期値問題について，解が一意に定まるのはどんな場合でしょうか？その十分条件を与えるのがリプシッツ条件です。

リプシッツ条件とは

リプシッツ条件（Lipschitz 条件）

$f(t,x)$ を，閉区間 $\Omega = \{ (t,x) \mid |t-t_0|\leqq a ,|x-x_0 | \leqq b \}$ で定義された連続関数とする。

ある定数 $L$ があり， $\Omega$ 内の任意の2点 $(t,x),(t,y)$ において $|f(t,x) - f(t,y)| \leqq L|x-y|$ となるとき， $f$ はリプシッツ条件を満たすという。

大雑把に言うと「出力の変動が，入力の変動の定数倍（ $L$ 倍）でおさえられる」という条件です。

微分方程式の解の存在と一意性

定理

$f(t,x)$ を，閉区間 $\Omega = \{ (t,x) \mid |t-t_0|\leqq a ,|x-x_0 | \leqq b \}$ で定義された連続関数とする。

微分方程式 $\begin{cases} \dfrac{dx}{dt} = f(t,x)\\ x(t_0) = x_0 \end{cases}$ を考える。

$f(t,x)$ がリプシッツ条件を満たすとき， $|t-t_0| \leqq \mathrm{min} \left( a, \dfrac{b}{M} \right)$ において，この微分方程式の解は存在し一意に定まる。

なお， $\displaystyle M = \max_{(t,x) \in \Omega} f(t,x)$ である。

さきほどの例： $f(t,x) = x^{\frac{2}{3}}$ についてリプシッツ条件が成立しないことを確認してみましょう。

$(t,0), (t,x_0)$ （ $x_0 > 0$ ）を取ります。 $\dfrac{|f(t,x_0) - f(t,0)|}{|x_0 - 0|} = \dfrac{{x_0}^{\frac{2}{3}}}{x_0} = {x_0}^{-\frac{1}{3}}$ となります。 $x_0 \to 0$ のとき ${x_0}^{-\frac{1}{3}} \to \infty$ です。

ゆえにどのように定数 $L$ を取っても， $x_0$ を十分小さく取ると $|f(t,x_0) - f(t,0)| > L|x_0|$ とできます。こうしてリプシッツ条件を満たさないことが分かりました。

解の存在と一意性定理の証明の概略

定理の証明は概略にとどめます。各パートでの計算量が多いため，ここに詳細は載せません。

証明の概略

関数列 $\{x_n\}$ を $x_0 (t) = x_0$ ， $\displaystyle x_{n+1}(t) = x_0(t) + \int_{t_0}^t f(s,x_{n} (s)) ds$ とおきます。（→逐次近似法と呼ばれる方法です）

解が存在することの証明

$(t, x_n (t)) \in \Omega$ であることを示す。（本当に $f$ に代入していいかチェック）
$x_n$ は一様収束する。→ $\displaystyle x (t) = \lim_{n \to \infty} x_n (t)$ とおく。
$x(t)$ が微分方程式の解となる。

一意性の証明

$\tilde{x} (t)$ も解であると仮定すると，任意の正の整数 $n$ に対して， $| x(t) - \tilde{x} (t) | \leqq \dfrac{m L^n}{n!} |t-t_0|^n$ が成立することを示す。 $n \to 0$ とすることで $x(t) = \tilde{x} (t)$ がわかる。

多変数版

多変数版の「リプシッツ条件」および「解の一意性定理」も紹介します。1変数の場合と同様です。

リプシッツ条件（多変数版）

$\mathbb{R}^n$ の有界な領域 $\Omega$ を $\Omega = \{ (t,\mathbf{x}) \mid |t-t_0|\leq a ,\|\mathbf{x}-\xi_0 \| \leq b \}$ とする。

$\Omega$ 上の連続関数 $f(t,\mathbf{x})$ がリプシッツ条件を満たすとは，ある定数 $L$ があり $\Omega$ 内の任意の2点 $(t,\mathbf{x}),(t,\mathbf{y})$ において $\| \mathbf{f} (t,\mathbf{x}) - \mathbf{f} (t,\mathbf{y}) \| \leqq L \| \mathbf{x} - \mathbf{y}\|$ となることである．

ただし，

$\mathbb{R}^n$ の元 $\mathbf{x} = {}^t (x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ ， $\mathbf{y} = {}^t (y_1,y_2,\cdots ,y_n)$ に対して， $\| \mathbf{x} - \mathbf{y} \| = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + \cdots (x_n - y_n)^2}$ と定めます。
$\mathbf{f} : \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}^n$ を， $n+1$ 変数の実数値関数 $f_1 , f_2 , \cdots , f_n$ を用いて $\mathbf{f} (t, \mathbf{x}) = \begin{pmatrix} f_1 (t , x_1 , x_2 , \cdots , x_n)\\ f_2 (t , x_1 , x_2 , \cdots , x_n)\\ \vdots\\ f_n (t , x_1 , x_2 , \cdots , x_n) \end{pmatrix}$ と定めます。

リプシッツ条件を満たすとき， $n$ 変数の微分方程式でも解の存在と一意性が従います。

定理

$\mathbf{f} (t,x)$ を，閉区間 $\Omega = \{ (t,\mathbf{x}) \mid |t-t_0|\leq a ,\|\mathbf{x}-\xi_0 \| \leq b \}$ で定義された連続関数とする。

微分方程式 $\begin{cases} \dfrac{d{x_1}}{d{t}} = f_1 (t , x_1,x_2,\cdots ,x_n) , &x_1(t_0) = \xi_1\\ \dfrac{d{x_2}}{d{t}} = f_2 (t , x_1,x_2,\cdots ,x_n) , &x_2(t_0) = \xi_2\\ \quad \vdots\\ \dfrac{d{x_n}}{d{t}} = f_n (t , x_1,x_2,\cdots ,x_n) , &x_n(t_0) = \xi_n \end{cases}$ を考える。

$\mathbf{f} (t,x)$ がリプシッツ条件を満たすとき， $|t-t_0| \leqq \mathrm{min} \left( a, \dfrac{b}{M} \right)$ において，微分方程式の解は存在し一意に定まる。

なお， $\displaystyle M = \max_{(t,\mathbf{x}) \in \Omega} f(t,\mathbf{x})$ である。

斉次線形微分方程式

最後に，リプシッツ条件が成立する（ので解が一意に定まる）ような重要な例を紹介します。

定理

$n$ 階の定数係数の斉次線形微分方程式 $\dfrac{d^n x}{dt^n} + a_{n-1}(t) \dfrac{d^{n-1} x}{dt^{n-1}} + \cdots + a_{1}(t) \dfrac{dx}{dt} + a_0(t) x = 0$ の解は，

各 $a_i(t)\:(i=0,1,...,n-1)$ が有界なら（初期値に応じて）一意に定まる。
特に，各 $a_i(t)$ が $t$ に依存しない定数なら（初期値に応じて）一意に定まる。

証明

$x_1 = x$ ， $x_2 = x'$ ， $\cdots$ ， $x_{n} = x^{(n-1)}$ とおく。

このとき微分方程式は $\begin{cases} {x_1}' = x_2\\ {x_2}' = x_3\\ \quad \vdots\\ {x_{n-1}}' = x_{n}\\ {x_{n}}' = - (a_{n-1} x_{n-2} + \cdots + a_1 x_2 + a_0 x_1) \end{cases}$ と表せる（1本の微分方程式をあえて $n$ 本の連立方程式で表した）。行列で表すと $\dfrac{d}{dt} \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots \\ \vdots \\x_{n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&1& & 0 \\ \vdots & & \ddots & \\ 0 & 0 & & 1\\ -a_0 & -a_1 & \cdots &-a_{n-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots \\ \vdots \\x_{n} \end{pmatrix}$

ここで右辺に表れた $n\times n$ 行列を $A$ とおくと， $\dfrac{d}{dt} \mathbf{x} = A \mathbf{x}$ となる。この解が一意に定まることを証明すればよい。すなわち $\mathbf{f} (t,\mathbf{x}) = A \mathbf{x}$ がリプシッツ条件を満たすことを証明すればよい。

$\begin{aligned} \| A \mathbf{x} \|^2 &= \left\| \begin{matrix} x_2\\ x_3\\ \vdots\\ -a_0 x_1 - \cdots - a_{n-1} x_n \end{matrix} \right\|^2\\ &= {x_2}^2 + \cdots + {x_n}^2 + ({a_0} {x_1} + \cdots + {a_{n-1}} {x_n})^2\\ &\leqq \sum_{k=1}^n {x_k}^2 + \left( \sum_{k=0}^{n-1} {a_k}^2 \right) \left( \sum_{k=1}^n {x_k}^2 \right)\\ &= \left( 1+ \sum_{k=0}^{n-1} {a_k}^2 \right) \| \mathbf{x} \|^2 \end{aligned}$ となる（途中の不等号はシュワルツの不等式）。

よって， $\displaystyle L = \sqrt{1+ \sum_{k=0}^{n-1} {a_k}^2}$ とすると，

$\begin{aligned} \| \mathbf{f} (t,\mathbf{x}) - \mathbf{f} (t,\mathbf{y}) \| &= \| A\mathbf{x} - A\mathbf{y} \|\\ &\leqq L \| \mathbf{x} - \mathbf{y} \| \end{aligned}$ であるため， $\mathbf{f}$ はリプシッツ条件を満たす。

なお，このとき $\mathbf{f} = A \mathbf{x}$ は $\mathbb{R}^{n+1}$ 全体で定義されるため，微分方程式の解は $\mathbb{R}^n$ 全体で存在し，一意に定まる。

なおこの結果を使って「定数係数の $n$ 階斉次線形微分方程式」の解空間が $n$ 次元ベクトル空間を成すことが証明できます。 →n階斉次線形微分方程式の解空間

「定数係数 $n$ 階斉次線形微分方程式」は漢字だらけの長い単語ですね。