n階斉次線形微分方程式の解空間

行列表現 (ii) で考える。

$n$ 個の解を構成できること

(ii)において初期値 ${}^t(x_1(0),...,x_n(0))$ が ${}^t (1,0, \cdots ,0)$ である解を $X_1 (t)$ とおく。同様に，初期値の第 $i$ 成分のみ $1$ でその他が $0$ である解を $X_i (t)$ とする。

解の存在定理より，このような $X_i(t)$ が存在する。

$n$ 個の線形結合ですべてをつくせること

次に、(ii)の任意の解を $\tilde{X}(t)$ とおく。$\tilde{X}(t)$ における初期値を ${}^t (c_1, c_2, \cdots , c_n) \in \mathbb{R}^n$ とおく。

このとき $X(t) = c_1 X_1 (t) + \cdots + c_n X_n (t)$ もまた微分方程式 (ii) の解であり初期値は ${}^t (c_1, c_2, \cdots , c_n)$ なので，解の一意性定理から $\tilde{X}(t)=X(t)$ である。

各 $X_i$ を $n$ 次の縦ベクトルだとして扱う。

$$W(t) = \det \begin{pmatrix} X_1 (t) & \cdots & X_n (t) \end{pmatrix}$$ とおく。

このとき $$\dfrac{d}{dt} W(t) = (\mathrm{tr} (A)) W(t)$$ となる。（後述の 詳しい計算 参照）

$\mathrm{tr} (A) = -a_{n-1}$ を踏まえて微分方程式を解くと $$W(t) = W(t_0) e^{-\int_{t_0}^t a_{n-1} (s) ds}$$ となる。

初期値のとき $\begin{pmatrix} X_1 (t) & \cdots & X_n(t) \end{pmatrix}$ は単位行列であるため $$W(t) = e^{-\int_{t_0}^t a_{n-1} ds}$$ となる。特に $W(t) \neq 0$ であることに注意すると，行列 $$\begin{pmatrix} X_1 (t) & \cdots & X_n (t) \end{pmatrix}$$ は可逆であることがわかる。

$$c_1 X_{11} + c_2 X_{21} + \cdots + c_n X_{n1} = 0$$ であったとする。このとき $$\begin{pmatrix} X_1 (t) & \cdots & X_n (t) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$$ であるが，左辺に現れる行列は可逆であるため $$\begin{pmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$$ である。

こうして一次独立であることが示された。

行列式の定義と積の微分法を用いる。→ 行列式の３つの定義・性質・意味 $$\begin{aligned} \dfrac{d}{dt} \det \begin{pmatrix} X^1 \\ X^2 \\ \vdots \\ X^n \end{pmatrix} &= \dfrac{d}{dt} \sum_{\omega \in \mathfrak{S}_n} (\mathrm{sgn} \ \omega ) \prod_{i} X_{i \sigma (i)}\\ &= \dfrac{d}{dt} \sum_{\omega \in \mathfrak{S}_n} ( \mathrm{sgn}\; \omega ) \prod_{i} X_{i \sigma (i)}\\ &= \sum_{\omega \in \mathfrak{S}_n} ( \mathrm{sgn}\; \omega ) \dfrac{d}{dt} \prod_{i} X_{i \sigma (i)}\\ &= \sum_{\omega \in \mathfrak{S}_n} ( \mathrm{sgn}\; \omega ) \left( \dfrac{d}{dt} X_{1 \sigma (1)} X_{2 \sigma (2)} \cdots X_{n \sigma (n)} \right.\\ & \quad\quad\quad\quad \left. + \cdots +X_{1 \sigma (1)} X_{2 \sigma (2)} \cdots \dfrac{d}{dt} X_{n \sigma (n)} \right)\\ &= \det \begin{pmatrix} \dfrac{d}{dt} X^1 \\ X^2 \\ \vdots \\X^n \end{pmatrix} + \cdots + \det \begin{pmatrix} X^1 \\ X^2 \\ \vdots \\ \dfrac{d}{dt} X^n \end{pmatrix} \end{aligned}$$

$A$ の $ij$ 成分を $A_{ij}$ とおく。

$$\det \begin{pmatrix} X_2 \\ X_2 \\ \vdots \\ X_n \end{pmatrix} = 0$$ など同じ行を含む行列式は $0$ になることに注意して計算する。

$$\begin{aligned} &\det \begin{pmatrix} \sum_{i=1}^n A_{1i} X^i \\ X^2 \\\vdots \\ X^n \end{pmatrix} + \cdots + \det \begin{pmatrix} X^1 \\ X^2 \\ \vdots \\ \sum_{i=1}^n A_{ni} X^i \end{pmatrix} \\ &=\sum_{i=1}^n \det \begin{pmatrix} A_{1i} X^i \\ X^2 \\\vdots \\ X^n \end{pmatrix} + \cdots + \sum_{i=1}^n \det \begin{pmatrix} X^1 \\ X^2 \\ \vdots \\ A_{ni} X^i \end{pmatrix}\\ &=\sum_{i=1}^n A_{1i} \det \begin{pmatrix} X^i \\ X^2 \\\vdots \\ X^n \end{pmatrix} + \cdots + \sum_{i=1}^n A_{ni} \det \begin{pmatrix} X^1 \\ X^2 \\ \vdots \\ X^i \end{pmatrix}\\ &=A_{11} \det \begin{pmatrix} X^1 \\ X^2 \\ \vdots \\ X^k \end{pmatrix} + \cdots +A_{nn} \det \begin{pmatrix} X^1 \\ X^2 \\ \vdots \\ X^k \end{pmatrix}\\ &= (\mathrm{tr} (A)) W(t) \end{aligned}$$