ベクトル空間と次元

• 平面ベクトルの全体はベクトル空間になります。これらは実数を2つ並べたものの集合 $\mathbb{R}^2 = \{(a, b) \mid a, b \in \mathbb{R}\}$ に，成分ごとの和とスカラー倍を入れたようなベクトル空間だと思えます。

• 空間ベクトルについても同様に，実数を3つ並べた $\mathbb{R}^3$ というベクトル空間だと思えます。

$n$ 個の実数の組 $(a_1, \dots, a_n)$ の集合 $\mathbb{R}^n$ に，成分ごとの和とスカラー倍を入れたものはベクトル空間になります。 $n = 2, 3$ の場合が平面（空間）ベクトルです。

実数の数列 $(a_n)_n = (a_1, a_2, a_3, \dots)$ 全体の集合 $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ に，和とスカラー倍を次のように定めるとベクトル空間になります。

$$(a_1, a_2, a_3, \dots) + (b_1, b_2, b_3, \dots) = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3, \dots) \\ r \cdot (a_1, a_2, a_3, \dots) = (ra_1, ra_2, ra_3, \dots)$$

区間 $[0,1]$ 上の実数値関数 $f(x)$ 全体の集合 $\mathbb{R}^{[0,1]}$ に，和とスカラー倍を次のように定めるとベクトル空間になります。

$$(f + g)(x) = f(x) + g(x) \\ (r \cdot g)(x) = rg(x)$$

ベクトル空間 $V$ に対し，$V$ 上の線形形式全体の集合 $V^*$ に $$(f + g)(v) = f(v) + g(v) \\ (r \cdot g)(v) = rg(v)$$ で和とスカラー倍を定めるとベクトル空間になります。これを $V$ の双対空間といいます。

$\mathbb{R}^n$ の元たち $$e_1 = (1, 0, \dots , 0), \\ e_2 = (0, 1, \dots , 0), \\ \vdots \\ e_n = (0, 0, \dots ,1)$$ は一次独立で，他の元はこれらの一次結合で表せる。よって $\mathbb{R}^n$ は $n$ 次元のベクトル空間であリ，$e_1, \dots, e_n$ という組は $\mathbb{R}^n$ の基底の1つである。

微分方程式 $$\dfrac{d^2}{dx^2}f(x) = -f(x)$$ の解をすべて求めたい。例えば $\sin x , \cos x$ が解になるが，他にはどういうものがあるだろうか？

もし $f(x), g(x)$ が方程式の解なら $$\begin{aligned} \dfrac{d^2}{dx^2}(f(x)+g(x)) &= \dfrac{d^2}{dx^2}f(x)+\dfrac{d^2}{dx^2}g(x) \\ &=-f(x)-g(x) \\ &=-(f(x)+g(x)) \end{aligned}$$ となりそれらの和もまた方程式の解である。スカラー倍についても同様である。この和とスカラー倍によって解全体の集合 $V$ はベクトル空間となる（定義を満たすことの証明は略，かんたんなのでやってみましょう）。

そして微分方程式の理論によってこのベクトル空間は $2$ 次元である。つまり一次独立な2つの解によって他の解はすべて表せる。

いま $\sin x , \cos x$ は一次独立だから，解は $A, B \in \mathbb{R}$ によって

$$A \sin x + B \cos x$$

と表せるものですべてである。