群の定義といろいろな具体例

集合 $G$ の元を2つ入れたら $G$ の元が1つ返ってくるような関数を $G$ 上の二項演算と言います。

我々が普段使う足し算，引き算，かけ算，割り算など，2つの数から1つの数を決める演算を一般化した概念です。

二項演算は二変数関数なので $f(a,b)$ などど書くべきかもしれませんが，$a\cdot b,\:a\times b,\:ab$ のように書くことが多いです（一般の二項演算を $\cdot$ や $\times$ で表すことが多いです，二項演算子を省略することも多いです）。

なお，二項演算は必ずしも可換（つまり $f(a,b)=f(b,a)$）とは限りません。

集合と演算のペアがいい感じの性質を満たしているときに群と呼ばれます。

G1を結合法則，G2の $e$ を単位元と言います。また，G3の $b$ を $a$ の逆元と言い，$a^{-1}$ と書きます。

また「$G$ は演算 $\cdot$ に関して群である」と言うこともあります。

余談：単位元が存在すれば一意，逆元が存在すれば一意であることがそれぞれ証明できるので，群の定義に「単位元の一意性」「逆元の一意性」は不要です。

群の定義だけを見てもピンとこないと思うので以下で具体例を見てみます。

例1

$0$ 以外の実数全体の集合 $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ と通常の意味での積（かけ算）$\cdot$ のペアはG1〜G3を満たすので $(\mathbb{R}\setminus\{0\},\cdot)$ は群である。

（単位元は $1$，$a$ の逆元は $\dfrac{1}{a}$ ）

有理数全体から $0$ を除いたもの，複素数全体から $0$ を除いたものも同様に積に関して群です。

例2

実数全体の集合 $\mathbb{R}$ と通常の意味での積は $0$ が邪魔で群にはならない（G2とG3を満たさない）。

例3

整数全体の集合 $\mathbb{Z}$ と通常の意味での和（足し算）のペア $(\mathbb{Z},+)$ は群である。

（単位元は $0$，$a$ の逆元は $-a$）

有理数全体，実数全体，複素数全体も同様に和に関して群です。

例4（対称群）

$n$ 次の置換全体の集合 $S_n$ は置換の積（合成）に関して群である。

置換については→置換の基礎（互換・偶置換・奇置換・符号の意味）参照。

対称群や置換群などと言います。非常に重要な群です。

例5（直交群）

$n\times n$ の直交行列全体の集合は行列の積に関して群である。

直交群と言います。

例6

$G=\{1,2\}$ は以下のように定義した演算 $\times$ に関して群である。

$1\times 1=1,\:1\times 2=2\times 1=2,\:2\times 2=1$

なお，考えている演算が文脈から明らかな場合は「$(G,\cdot)$ のペアが群」という代わりに簡単に「$G$ が群」と言うこともあります。

群の紹介のついでに，関連する用語を紹介します。

• 半群：集合と演算のペアでG1のみを満たすもの

• モノイド：集合と演算のペアでG1とG2を満たすもの

• 可換群（アーベル群）：群であり，さらに演算が可換（任意の $a,b\in G$ に対して $a\cdot b=b\cdot a$）であるもの
  例えば整数全体の集合は和に関して可換群ですが，対称群は（置換の積が可換でないので）可換群ではありません（非可換群）。