多変数関数の極値判定とヘッセ行列

$f$ を $x$ で偏微分すると，$f_x=3x^2+2y-1$

$y$ で偏微分すると，$f_y=2x+2y$

これらを用いて二階の偏導関数を求める：

$f_{xx}=6x,\:f_{xy}=f_{yx}=2,\:f_{yy}=2$

よってヘッセ行列は $\begin{pmatrix}6x&2\\2&2\end{pmatrix}$

$2 \times 2$ 行列の首座小行列は $1 , 1$ 成分と元の行列の2つである。

ヘッセ行列の場合，$f_{xx} (x_0,y_0)$ と元のヘッセ行列 $H$ の2つである。

またヘッセ行列は $\begin{pmatrix} f_{xx} (x_0,y_0) & f_{xy} (x_0,y_0)\\ f_{yx} (x_0,y_0) & f_{yy} (x_0,y_0) \end{pmatrix}$ であるため，行列式は $$\Delta = f_{xx} (x_0,y_0) f_{yy} (x_0,y_0) - \{ f_{xy} (x_0,y_0) \}^2$$ である。（今回 $C^2$ 級を考えているため $f_{xy} = f_{yx}$ である）

• 極小

このとき，ヘッセ行列は正定値である。これは首座行列式がすべて正であることと同値であった。

首座行列式は $f_{xx} (x_0,y_0)$ と $\Delta (x_0,y_0)$ であるため，定理が従う。

• 極大

このとき，ヘッセ行列は負定値である。$-H$ の首座行列式がすべて正であることと同値であった。

このとき正である値は $-f_{xx} (x_0,y_0)$ と $\Delta (x_0,y_0)$ であるため，定理が従う。

※ $2 \times 2$ 行列の場合，$\det (-A) = \det A$ である。（定義より分かる）

• 鞍点

固有値が正負両方である場合である。今回は $2 \times 2$ 行列であるため，固有値は2つである。

よって，鞍点である場合とヘッセ行列の行列式が負であることが同値である。

ヘッセ行列は $(1,-1)$ では $\begin{pmatrix}6&2\\2&2\end{pmatrix}$

これは以下のように正定値であることが分かる：

一つ目の首座小行列式（$11$ 成分の値）は $6 > 0$

二つ目の首座小行列式は $6\cdot 2-2\cdot 2=8 > 0$

よって，$(1,-1)$ は極小点であり極小値は $-1$ である。

$$\begin{aligned} f_{xx} (1,-1) &= 6 > 0\\ \Delta (1,-1) &= f_{xx} (1,-1) f_{yy} (1,-1) - \{ f_{xy} (1,-1) \}^2 \\ &= 6 \cdot 2 - 2^2 \\ &= 8 > 0 \end{aligned}$$ より極小値を取る。

ヘッセ行列は $\left( -\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3} \right)$ では $\begin{pmatrix}-2&2\\2&2\end{pmatrix}$

固有値を計算する。 $$\begin{aligned} |H-tI| &= \begin{vmatrix} -2-t & 2\\ 2 & 2-t \end{vmatrix}\\ &= (-2-t)(2-t) - 4\\ &= t^2 - 8 \end{aligned}$$ より固有値は $\pm 2 \sqrt{2}$ で正負どちらにもなる。

よって鞍点を取る。

$$\begin{aligned} \Delta \left( -\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3} \right) &= f_{xx} \left( -\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3} \right) f_{yy} \left( -\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3} \right) \\ &\qquad - \left\{ f_{xy} \left( -\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3} \right) \right\}^2 \\ &= -2 \cdot 2 - 2^2 \\ &= -8 < 0 \end{aligned}$$ より鞍点を取る。

平面 $x+y=0$ 上で $f(x,y)$ は $x^3 - x^2 - x$ となる。これは $x = -\dfrac{1}{3}$ で極大値を取る。

一方，平面 $x-y= -\dfrac{2}{3}$ 上で $f(x,y)$ は $x^3 + 3x^2 + \dfrac{5}{3} x + \dfrac{4}{9}$ となる。これは $x = -\dfrac{1}{3}$ で極小値を取る。

よって $f(x,y)$ は $(x,y) = \left( -\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{3} \right)$ で鞍点になる。