多変数関数の極値判定とヘッセ行列

$f$ を $x$ で偏微分すると，$f_x=3x^2+2y-1$

$y$ で偏微分すると，$f_y=2x+2y$

これらを用いて二階の偏導関数を求める：

$f_{xx}=6x,\:f_{xy}=f_{yx}=2,\:f_{yy}=2$

よってヘッセ行列は $\begin{pmatrix}6x&2\\2&2\end{pmatrix}$

まず，極値のための必要条件として偏微分=0を解く：

$f_x=3x^2+2y-1=0$ ，

$f_y=2x+2y=0$

より $(x,y)=(1,-1),(-\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3})$

つまり極値の候補は二つ。

・$(1,-1)$ について

ヘッセ行列（冒頭で求めた）は $(1,-1)$ では $\begin{pmatrix}6&2\\2&2\end{pmatrix}$

これは以下のように正定値であることが分かる：

一つ目の首座小行列式（$11$ 成分の値）は $6 > 0$

二つ目の首座小行列式は $6\cdot 2-2\cdot 2=8 > 0$

よって，$(1,-1)$ は極小点であり極小値は $-1$

・$(-\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3})$ について

ヘッセ行列は $(-\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3})$ では $\begin{pmatrix}-2&2\\2&2\end{pmatrix}$

これは正定値でも負定値でもない。よってこの定理だけでは極値かどうかは分からない（実は極大でも極小でもない鞍点と呼ばれる点）。