多変数関数の極値判定とヘッセ行列

$f$ を $x$ で偏微分すると，$f_x=3x^2+2y-1$

$y$ で偏微分すると，$f_y=2x+2y$

これらを用いて二階の偏導関数を求める：

$f_{xx}=6x,\:f_{xy}=f_{yx}=2,\:f_{yy}=2$

よってヘッセ行列は $\begin{pmatrix}6x&2\\2&2\end{pmatrix}$

まず，極値のための必要条件として偏微分=0を解く：

$$\begin{cases} f_x=3x^2+2y-1=0\\ f_y=2x+2y=0 \end{cases}$$ より $(x,y)=(1,-1),\left( -\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3} \right)$

つまり極値の候補は二つ。

• $(1,-1)$ について

ヘッセ行列（冒頭で求めた）は $(1,-1)$ では $\begin{pmatrix}6&2\\2&2\end{pmatrix}$

これは以下のように正定値であることが分かる：

一つ目の首座小行列式（$11$ 成分の値）は $6 > 0$

二つ目の首座小行列式は $6\cdot 2-2\cdot 2=8 > 0$

よって，$(1,-1)$ は極小点であり極小値は $-1$

• $\left( -\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3} \right)$ について

ヘッセ行列は $\left( -\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3} \right)$ では $\begin{pmatrix}-2&2\\2&2\end{pmatrix}$

これは正定値でも負定値でもない。よってこの定理だけでは極値かどうかは分からない。実は，鞍点であることが以下のようにわかる。

平面 $x+y=0$ 上で $f(x,y)$ は $x^3 - x^2 - x$ となる。これは $x = -\dfrac{1}{3}$ で極大値を取る。

一方，平面 $x-y= -\dfrac{2}{3}$ 上で $f(x,y)$ は $x^3 + 3x^2 + \dfrac{5}{3} x + \dfrac{4}{9}$ となる。これは $x = -\dfrac{1}{3}$ で極小値を取る。

よって $f(x,y)$ は $(x,y) = \left( -\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{3} \right)$ で極大にも極小にもならない。

まず偏微分=0を解く。

$$\begin{aligned} f_x &= 3y e^{-x^2-y^2} - 2x(3xy+1) e^{-x^2-y^2}\\ &=(3y-6x^2y-2x) e^{-x^2-y^2}\\ f_y &= (3x-6xy^2-2y) e^{-x^2-y^2} \end{aligned}$$ より $$\begin{cases} 3y-6x^2y-2x = 0 &\cdots (1)\\ 3x-6xy^2-2y = 0 &\cdots (2) \end{cases}$$ を解けばよい。

解を計算すると $$(x,y) = (0,0) , \left( \pm \dfrac{1}{\sqrt{6}} , \pm \dfrac{1}{\sqrt{6}} \right) , \left( \pm \sqrt{\dfrac{5}{6}} , \mp \sqrt{\dfrac{5}{6}} \right)$$ となる。

2回微分を計算すると $$\begin{aligned} f_{xx} &= 2(6x^3 y + 2x^2 - 9xy - 1) e^{-x^2-y^2}\\ f_{xy} &= (12x^2 y^2 - 6x^2 - 6y^2 + 4xy + 3) e^{-x^2-y^2}\\ f_{yy} &= 2(6x y^3 + 2y^2 - 9xy - 1) e^{-x^2-y^2} \end{aligned}$$ となる。

各点でのヘッセ行列を計算する。

• $(x,y) = (0,0)$ のとき

ヘッセ行列は $\begin{pmatrix} -2&3\\3&-2 \end{pmatrix}$ である。固有値は $1,-5$ である。この状態では極大・極小どちらをとるか分からない。

$x=y$ 平面上で見ると $f(x,x) = (3x^2+1) e^{-2x^2}$ となる。$x$ で微分すると $-2x(6x-1) e^{-2x^2}$ であるため，$x=0$ を境に減少から増加に変化する。

$x = -y$ 平面上で見ると $f(x,-x) = (-3x^2+1) e^{-2x^2}$ となる。$x$ で微分すると $2x(6x-5) e^{-2x^2}$ であるため，$x=0$ を境に増加から減少に変化する。

以上より $f(x,y)$ は $(0,0)$ 近傍で鞍点になる。

• $(x,y) = \left( \pm \dfrac{1}{\sqrt{6}} , \pm \dfrac{1}{\sqrt{6}} \right)$ のとき

ヘッセ行列は $\begin{pmatrix} -4e^{-\frac{1}{3}}&2e^{-\frac{1}{3}}\\2e^{-\frac{1}{3}}&-4e^{-\frac{1}{3}} \end{pmatrix}$ である。固有値は $-2,-6$ である。

よってこの点で極大値を取る。

極大値は $$f \left( \pm \dfrac{1}{\sqrt{6}} , \pm \dfrac{1}{\sqrt{6}} \right) = \dfrac{3}{2} e^{-\frac{1}{3}}$$ となる。

• $(x,y) = \left( \pm \sqrt{\dfrac{5}{6}} , \mp \sqrt{\dfrac{5}{6}} \right)$ のとき

ヘッセ行列は $\begin{pmatrix} 4e^{-\frac{5}{3}}&-2e^{-\frac{5}{3}}\\-2e^{-\frac{5}{3}}&4e^{-\frac{5}{3}} \end{pmatrix}$ である。固有値は $2,6$ である。

よってこの点で極小値を取る。

極小値は $$f \left( \pm \sqrt{\dfrac{5}{6}} , \mp \sqrt{\dfrac{5}{6}} \right) = -\dfrac{3}{2} e^{-\frac{5}{3}}$$ となる。