収束半径の意味と求め方

更新日時 2023/01/24

定理

べき級数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$ に対して，以下の1,2を両方満たす $\rho$ （ただし $0\leq \rho \leq\infty$ ）が存在する：

$|z| < \rho$ ならこのべき級数は収束
$|z| > \rho$ ならこのべき級数は発散

このような $\rho$ をべき級数の収束半径と言います。

この記事では $z$ は複素数を表すものとします（実数と考えても差し支えありません）。

収束半径について

べき級数が収束するか発散するかにはしきい値が存在します。このしきい値が収束半径です。複素数平面で考えると「半径」の意味が分かります。
（000
 以外の）全ての
zzz
 に対して発散するようなべき級数の収束半径は
000
 です。
全ての
zzz
 に対して収束するようなべき級数の収束半径は
∞\infty∞
 と考えます。
なお，ギリギリの点，つまり
∣z∣=ρ|z|=\rho∣z∣=ρ
 の場合にべき級数が発散するか収束するかはケースバイケースです。
冒頭の定理の証明は解析学の教科書を参照して下さい（難しくありません）。

収束半径の例

例題

べき級数 $1+z+z^2+z^3+z^4+\cdots$ の収束半径 $\rho$ を求めよ。

解答

$\rho=1$ であることを証明する。

等比数列の和の公式より

$1+z+z^2+z^3+\cdots +z^n=\dfrac{(1-z^{n+1})}{1-z}$

であるので， $n\to\infty$ とすると， $|z| < 1$ のとき収束し， $|z| > 1$ のとき発散する。

注：この例ではギリギリの点，つまり $|z|=1$ の場合も発散します。

収束半径の求め方

収束半径の求め方を紹介します。

ダランベールの判定法

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=C$ が存在すれば，収束半径は $\dfrac{1}{C}$ である。ただし $\dfrac{1}{0}=\infty,\dfrac{1}{\infty}=0$ とみなす。

$|a_n|$ が激しく減少する→ $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|$ は小さい→収束半径は大きい
という感じです。例えば， $a_n$ が公比 $C$ の等比数列の場合は $a_nz^n$ は公比 $Cz$ の等比数列になるので「 $\dfrac{1}{C}$ が収束半径になる」ことはすぐわかりますね。