収束半径の意味と求め方
べき級数 に対して,以下を満たす (ただし )が存在する:
ならこのべき級数は収束
ならこのべき級数は発散
このような をべき級数の収束半径と言います。
この記事では は複素数を表すものとします(実数と考えても差し支えありません)。
収束半径について
収束半径の例
収束半径の求め方
収束半径について
べき級数が収束するか発散するかにはしきい値が存在します。このしきい値が収束半径です。複素数平面で考えると「半径」の意味が分かります。
( 以外の)全ての に対して発散するようなべき級数の収束半径は です。
全ての に対して収束するようなべき級数の収束半径は と考えます。
なお,ギリギリの点,つまり の場合にべき級数が発散するか収束するかはケースバイケースです。
冒頭の定理の証明は解析学の教科書を参照して下さい(難しくありません)。
収束半径の例
べき級数 の収束半径 を求めよ。
注:この例ではギリギリの点,つまり の場合も発散します。
収束半径の求め方
収束半径の求め方の一つであるダランベールの判定法を紹介します。
が存在すれば,収束半径は である。ただし とみなす。
が激しく減少する→ は小さい→収束半径は大きい
という感じです。
べき級数 の収束半径 を求めよ。
であるので ,収束半径も
べき級数 の収束半径 を求めよ。
であるので,
となり 。よって収束半径は
解析の記事は証明を書くのが難しいので,定理の主張や使い方を中心に解説しようと思います。