収束半径の意味と求め方

更新 2023/01/24

定理

べき級数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$ に対して，以下の1,2を両方満たす $\rho$ （ただし $0\leq \rho \leq\infty$ ）が存在する：

$|z| < \rho$ ならこのべき級数は収束
$|z| > \rho$ ならこのべき級数は発散

このような $\rho$ をべき級数の収束半径と言います。

この記事では $z$ は複素数を表すものとします（実数と考えても差し支えありません）。

収束半径について

べき級数が収束するか発散するかにはしきい値が存在します。このしきい値が収束半径です。複素数平面で考えると「半径」の意味が分かります。
（000
 以外の）全ての
zzz
 に対して発散するようなべき級数の収束半径は
000
 です。
全ての
zzz
 に対して収束するようなべき級数の収束半径は
∞\infty∞
 と考えます。
なお，ギリギリの点，つまり
∣z∣=ρ|z|=\rho∣z∣=ρ
 の場合にべき級数が発散するか収束するかはケースバイケースです。
冒頭の定理の証明は解析学の教科書を参照して下さい（難しくありません）。

収束半径の例

例題

べき級数 $1+z+z^2+z^3+z^4+\cdots$ の収束半径 $\rho$ を求めよ。

解答

$\rho=1$ であることを証明する。

等比数列の和の公式より

$1+z+z^2+z^3+\cdots +z^n=\dfrac{(1-z^{n+1})}{1-z}$

であるので， $n\to\infty$ とすると， $|z| < 1$ のとき収束し， $|z| > 1$ のとき発散する。

注：この例ではギリギリの点，つまり $|z|=1$ の場合も発散します。

収束半径の求め方

収束半径の求め方を紹介します。

ダランベールの判定法

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=C$ が存在すれば，収束半径は $\dfrac{1}{C}$ である。ただし $\dfrac{1}{0}=\infty,\dfrac{1}{\infty}=0$ とみなす。

$|a_n|$ が激しく減少する→ $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|$ は小さい→収束半径は大きい
という感じです。例えば， $a_n$ が公比 $C$ の等比数列の場合は $a_nz^n$ は公比 $Cz$ の等比数列になるので「 $\dfrac{1}{C}$ が収束半径になる」ことはすぐわかりますね。

例題（再掲）

べき級数 $1+z+z^2+z^3+z^4+\cdots$ の収束半径 $\rho$ を求めよ。

解答

$a_n=1$ であるので $C=1$ ，収束半径も $1$

例題2

べき級数 $1+z+\dfrac{z^2}{2!}+\dfrac{z^3}{3!}+\dfrac{z^4}{4!}+\cdots$ の収束半径 $\rho$ を求めよ。

解答

$a_n=\dfrac{1}{n!}$ であるので，

$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{1}{n+1}$

となり $C=0$ 。よって収束半径は $\infty$

注意点

ダランベールの判定法は $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=C$ が存在するときしか使えません。

例題3

べき級数 $(\sin 1) x + (\sin 2) x^2 + (\sin 3) x^3 + \cdots$ の収束半径 $\rho$ を求めよ。

$a_n = \sin n$ より $\displaystyle \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \dfrac{\sin (n+1)}{\sin n}$ ですが，これは振動するため，極限を持ちません。

このようなケースはどうすればよいでしょうか。

コーシーのべき根判定法

コーシーの冪根判定法

$\displaystyle C = \limsup_{n \to \infty} |a_n|^{\frac{1}{n}}$ とおくと，収束半径は $\dfrac{1}{C}$ である。

ただし $\dfrac{1}{0}=\infty,\dfrac{1}{\infty}=0$ とみなす。

$\limsup$ は 上極限 です。

上極限は，多くの場合ただの $\lim$ と同じ値ですが， $\sin$ のような振動する関数に対しても値が定まります。詳しくは limsup、liminfの意味（数列・集合の上極限・下極限）を参照してください。

例題3 の解答

$|a_n|^{\frac{1}{n}} = |\sin n|^{\frac{1}{n}}$ であるので， $C = \limsup_{n \to \infty} |\sin n|^{\frac{1}{n}} = 1$

よって収束半径は $1$

少々形を変えてみましょう。

例題4

べき級数 $(\sin 1) x + (\sin 2)^2 x^2 + (\sin 3)^3 x^3 + \cdots$ の収束半径 $\rho$ を求めよ。

解答

$|a_n|^{\frac{1}{n}} = |(\sin n)^n|^{\frac{1}{n}} = |\sin n|$ であるので， $C = \limsup_{n \to \infty} |\sin n| = 1$

よって収束半径は $1$

収束についての補足

収束半径の定義では「各 $z$ で無限級数が収束するか」を考えています。つまり「各点収束」の考え方です。

実は，より強く「収束半径内では一様収束する」ことが知られています。→各点収束と一様収束の違いと具体例

解析の記事は証明を書くのが難しいので，定理の主張や使い方を中心に解説しようと思います。

この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！