行列のn乗の求め方と例題

まずは対角行列 $D = \mathrm{diag} (\lambda_1,\cdots,\lambda_k)$ の $n$ 乗について考えます。

ただし，対角成分が $\lambda_1,\cdots,\lambda_k$ である対角行列を $\mathrm{diag} (\lambda_1,\cdots,\lambda_k)$ と表記します。

これは数学的帰納法により簡単に分かります。

対角化可能な行列の $n$ 乗は，対角化および対角行列の $n$ 乗を用いて計算できます。ほとんどの場合これで事足ります。

具体的な手順を以下に示します：

1. $A$ を対角化する，つまり $D=P^{-1}AP$ となる正則行列 $P$，対角行列 $D$ を求める。

2. $D^n$ と $$\begin{aligned} A^n &= (PDP^{-1})^n\\ &= PDP^{-1}PDP^{-1}\cdots PDP^{-1}\\ &= PDD\cdots DP^{-1}\\ &= PD^{n}P^{-1} \end{aligned}$$ であることから $A^n$ を計算する。

対角化できない行列の $n$ 乗を計算するためには，ジョルダン標準形の知識が必要になります。→ジョルダン標準形の意味と求め方

具体的な手順を以下に示します：

1. $J=P^{-1}AP$ となる正則行列 $P$，ジョルダン標準形 $J$ を求める。
2. $J^n$ を求める。
3. $A^n=PJ^{n}P^{-1}$ であることと，$J^n$ から $A^n$ を計算する。

1と3は対角化のときと同じノリです。以下，$J^n$ を求める部分について説明します。

$J$ はブロック対角行列なので，各ジョルダンブロックの $n$ 乗を計算すれば $J^n$ が計算できます（$J$ の各ジョルダンブロックをその $n$ 乗で置き換えれば $J^n$ になる）。そして，1つのジョルダンブロック $\begin{pmatrix}\lambda&1& & \\ &\lambda & \ddots &\\& &\ddots &1 \\&&&\lambda\end{pmatrix}$ の $n$ 乗は，

• 対角成分は $\lambda^n$
• その右の成分は ${}_n\mathrm{C}_1\lambda^{n-1}$
• さらにその右の成分は ${}_n\mathrm{C}_2\lambda^{n-2}$
• さらにその右の成分は ${}_n\mathrm{C}_3\lambda^{n-3}$
• 以下同様，${}_n\mathrm{C}_n=1$ が登場するか右上にぶつかったら終了

であるような上三角行列になります。これは帰納法から分かります（二項定理を使っても導出できる）ので証明してみてください！